Estudio de modelos circuitales de metamateriales
bidimensiones de banda prohibida
electromagn
´
etica basados en la celda de Yang
Study of electric circuit models of bidimensional electromagnetic band-gap metamaterials based on
the Yang cell
Federico Luna
†1
, Silvina Boggi
∗2
y Walter Gustavo Fano
†3
†
Laboratorio de Radiaci
´
on Electromagn
´
etica, Facultad de Ingenier
´
ıa, Universidad de Buenos Aires
Paseo Col
´
on 850, Ciudad Aut
´
onoma de Buenos Aires, Argentina
1
fluna@fi.uba.ar
3
gustavo.gf2005@gmail.com
∗
Departamento de Matem
´
atica, Facultad de Ingenier
´
ıa, Universidad de Buenos Aires
Paseo Col
´
on 850, Ciudad Aut
´
onoma de Buenos Aires, Argentina
2
sboggi@fi.uba.ar
Resumen—Los metamateriales en las bandas de frecuencias
de microondas han sido ampliamente explorados en el dise
˜
no
de antenas y arreglos de antenas. En este trabajo se ha
estudiado la celda de Yang, que cuando es dispuesta peri
´
odica-
mente sobre un plano, conforma una estructura metamaterial
que presenta bandas prohibidas de frecuencia m
´
as bajas que
otras estructuras, con una mayor eficiencia en el uso del
espacio. Se han estudiado los campos el
´
ectricos y magn
´
eticos
en los primeros dos modos de propagaci
´
on electromagn
´
etica
de esta celda unitaria. Se han construido cuatro modelos
circuitales equivalentes de la celda unitaria para poder obtener
la respuesta en funci
´
on de la frecuencia de la estructura
metamaterial de forma r
´
apida, que se encuentran explicados
en el trabajo. Los modelos fueron validados por simulaci
´
on
num
´
erica electromagn
´
etica de onda completa.
Palabras clave: Metamaterial; EBG; celda unitaria; circuito
el
´
ectrico; diagrama de dispersi
´
on; microcinta
Metamaterials in microwave frequency bands have been
widely explored in the development and design of antenna
structures and arrays. In this paper, the so-called Yang cell
have been studied. When these cells are periodically arranged
on a plane, the resulting metamaterial structure shows lower
band-gap frequencies than structures composed of other unit
cells of the same size. The electric and magnetic fields in the
first two modes of electromagnetic propagation in the unit cell
have been studied. Four equivalent circuit models of the unit
cell have been developed in order to easily and quickly obtain
the frequency response of the metamaterial structure. These
models are explained in this paper, and were validated using
full-wave computational electromagnetic methods.
Keywords: Metamaterial; EBG; unitary cell; electric circuit;
dispersion diagram; microstrip
I. INTRODUCCI
´
ON
La definici
´
on de metamaterial a
´
un est
´
a en discusi
´
on
aunque, en t
´
erminos generales, la m
´
as aceptada indica que
son estructuras electromagn
´
eticas artificiales efectivamente
homog
´
eneas que presentan propiedades que no se encuen-
tran en la naturaleza [1]. En la figura 1 se pueden observar
dos ejemplos de metamateriales propuestos por Pendry [2].
Figura 1: Metamateriales propuestos por Pendry. A la iz-
quierda, un WSM (Wire Screen Medium). A la derecha, un
medio de SRR (Split-ring resonator) [1].
Los materiales EBG (de banda prohibida electromagn
´
etica,
Electromagnetic Bandgap), en ocasiones denominados PBG
(de banda prohibida fot
´
onica, Photonic Bandgap) o cristales
fot
´
onicos, son un tipo de estructura artificial, diel
´
ectrica
o metalodiel
´
ectrica, en algunos casos clasificadas como
metamateriales, con capacidades para controlar ondas elec-
tromagn
´
eticas [3] a partir de una variaci
´
on peri
´
odica en el
espacio de las propiedades electromagn
´
eticas del medio. Tie-
nen la capacidad de permitir la propagaci
´
on en direcciones
determinadas, o de impedirla completamente, debido a que
presentan una banda prohibida electromagn
´
etica, concepto
an
´
alogo al de banda prohibida electr
´
onica que controla
el movimiento de ondas de electrones que viajan en un
potencial peri
´
odico cristalino [4].
Si bien los primeros diel
´
ectricos artificiales fueron estu-
diados por Kock en 1944, los materiales de banda prohibida
electromagn
´
etica comenzaron a desarrollarse a partir de fines
del siglo XX. Ho, Chan y Soukoulis [5] describieron en
1990 un conjunto peri
´
odico de esferas diel
´
ectricas, dispues-
tas en forma de capas, para el que el efecto de banda
prohibida se daba en todas direcciones. Posteriormente,
Yablonovitch et al. [6] divisaron una estructura cristalina
sim
´
etrica de m
´
as f
´
acil fabricaci
´
on y demostraron, adem
´
as,
que la existencia de una banda prohibida electromagn
´
etica
pod
´
ıa ser predicha te
´
oricamente, en base, principalmente, a
la constante de periodicidad del diel
´
ectrico artificial.
https://doi.org/10.37537/rev.elektron.4.1.96.2020
Recibido: 06/12/19; Aceptado: 08/04/20
Revista elektron, Vol. 4, No. 1, pp. 27-34 (2020)
ISSN 2525-0159
27
Original Article
Creative Commons License - Attribution-NonCommercial-
NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0)
Figura 2: EBGs planares
Al mismo tiempo, comenzaron los estudios sobre las
denominadas ”superficies electromagn
´
eticas”, que consis-
ten en superficies texturadas, generalmente conductoras (en
contraposici
´
on a los trabajos tridimensionales) que imponen
condiciones de contorno particulares, capaces de lograr
cambiar la polarizaci
´
on de una onda incidente, influir sobre
las ondas de superficie y controlar la fase de reflexi
´
on,
actuando como estructuras bidimensionales de banda prohi-
bida electromagn
´
etica [7]. La primera de estas propuestas
fue presentada por Sievenpiper, y puede verse en el primer
dibujo de la figura 2 [8]. Dicha estructura presenta un
comportamiento de conductor magn
´
etico ante ondas elec-
tromagn
´
eticas incidentes en direcci
´
on normal a la superficie,
adem
´
as de una banda prohibida electromagn
´
etica para ondas
de superficie.
En base a la propuesta de Sievenpiper, y en b
´
usqueda de
una mayor facilidad de fabricaci
´
on, se propuso la aplicaci
´
on
de los conceptos de superficies selectoras de frecuencias
(FSS) ( [9]–[11]). La intenci
´
on fue lograr un comportamien-
to de banda prohibida electromagn
´
etica, pero evitando el uso
de v
´
ıas entre el plano conductor inferior y las estructuras
ubicadas en la capa superior, como se observa en la segunda
ilustraci
´
on de la figura 2. El bajo costo, la mayor facilidad de
fabricaci
´
on, el bajo peso y el bajo perfil de estas estructuras
las volvieron de particular inter
´
es en el dise
˜
no de antenas, a
pesar de que la banda prohibida electromagn
´
etica obtenida
es de un ancho de banda menor a las estructuras propuestas
por Sievenpiper.
En 2001, Yang et al. [12] propusieron estructuras pe-
ri
´
odicas planares bidimensionales basadas en FSS, pero de
menor tama
˜
no de celda unitaria que las propuestas hasta
el momento, como las mostradas en la
´
ultima ilustraci
´
on
de la figura 2, que presentaban zonas prohibidas en bajas
frecuencias. En esta celda, se intent
´
o maximizar la longitud
de los puentes, estableciendo lo que se conoce como un
inset en el parche microstrip que compone a cada celda
unitaria. De esta forma, el parche puede crecer, y por tanto
aumentar la capacitancia, sin que por ello la inductancia
deba disminuir. Esto permite que los parches de las distintas
celdas unitarias se ubiquen a corta distancia unos de otros,
aumentando el acoplamiento capacitivo entre ellos, y la
capacitancia del sistema completo, sin afectar a su simetr
´
ıa.
Son estas las estructuras analizadas en este trabajo.
El an
´
alisis de cualquiera de las estructuras EBG se basa
en el estudio sobre ondas mec
´
anicas en medios peri
´
odicos de
Louis Brillouin, quien demostr
´
o que un conjunto peri
´
odico
impone restricciones a los vectores de onda ~γ que pueden
propagarse en
´
el, dado que establece condiciones de con-
torno para los modos permitidos [13]. Aquellas ondas que
no cumplen las condiciones derivadas de la periodicidad de
la estructura, no son capaces de propagarse.
Cuando las celdas unitarias, los m
´
ınimas unidades repeti-
das regularmente en la estructura, son complejas, el estudio
de las estructuras requiere la utilizaci
´
on de software de simu-
laci
´
on electromagn
´
etica de onda completa [14], que puede
resultar, en algunos casos, computacionalmente demandante,
ralentizando los tiempos de dise
˜
no. Estos tiempos pueden
reducirse si se utilizan modelos circuitales equivalentes
( [11], [15]) para la predicci
´
on y obtenci
´
on r
´
apida del
comportamiento de estas estructuras, que resultar
´
an m
´
as
efectivos y f
´
aciles de aplicar a distintas celdas unitarias si
son, adem
´
as, modelos de construcci
´
on intuitiva. Diversas
t
´
ecnicas han sido utilizadas en la literatura para lograr este
prop
´
osito ( [16]–[19]). En este trabajo se muestra un posible
acercamiento al problema para metamateriales conformados
por celdas de Yang, aunque es extrapolable a otras celdas
unitarias uniplanales. Esta t
´
ecnica de modelado, que requiere
inicialmente de algunas simulaciones de onda completa,
permite tomar decisiones de dise
˜
no iterativo r
´
apidamente
a partir del conocimiento de la respuesta en frecuencia de
la estructura peri
´
odica. Cabe se
˜
nalar que, debido a que se
basa en el uso de componentes de par
´
ametros concentrados,
que vuelve el an
´
alisis v
´
alido
´
unicamente para los primeros
modos de propagaci
´
on, los modelos resultantes no repre-
sentar
´
an en su totalidad los fen
´
omenos de f
´
ısicos asociados
(radiaci
´
on, fen
´
omenos de orden superior, etc), m
´
as all
´
a del
comportamiento de banda prohibida electromagn
´
etica que
se pretende estudiar.
II. FORMULACI
´
ON DEL PROBLEMA
En los EBGs, la periodicidad espacial en las condiciones
de propagaci
´
on es el factor determinante, pues la explicaci
´
on
de la aparici
´
on de una banda prohibida electromagn
´
eti-
ca puede abordarse intuitivamente desde el estudio del
fen
´
omeno de difracci
´
on de Bragg de las ondas electro-
magn
´
eticas incidentes [1], [13]. Esta periodicidad establece,
adem
´
as, condiciones de contorno peri
´
odicas, que permiten
reducir el an
´
alisis de las estructuras al de una
´
unica celda
unitaria. La simplificaci
´
on es posible, debido a que, por estas
condiciones de borde, y asumiendo estructuras infinitas, es
posible aplicar el Teorema de Bloch-Floquet, que describe
la aparici
´
on de arm
´
onicos espaciales [4] en las direcciones
en que se presenta periodicidad. El campo el
´
ectrico (o
magn
´
etico) dentro de la estructura resulta peri
´
odico, con
la misma periodicidad que el material, a excepci
´
on de una
variaci
´
on de fase, dada por el valor de la constante de
propagaci
´
on β del medio. Dado que la misma diferencia
de fase se puede obtener para frecuencias mayores (un ciclo
m
´
as tarde), se presentar
´
a m
´
as de un modo de propagaci
´
on.
En la figura 3 se pueden observar el valor absoluto
promedio de las componentes normal y tangencial a la
superficie de los campos el
´
ectrico y magn
´
etico, para los dos
primeros modos de propagaci
´
on. En ambos, resulta evidente
que el campo el
´
ectrico es principalmente normal al plano
Revista elektron, Vol. 4, No. 1, pp. 27-34 (2020)
ISSN 2525-0159
28
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Figura 3: Comportamiento, en promedio temporal, de los
campos el
´
ectrico y magn
´
etico para los primeros dos modos
de propagaci
´
on.
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
Figura 4: Comportamiento, para dos fases diferentes, de los
campos el
´
ectrico y magn
´
etico normales a la superficie para
los dos primeros modos de propagaci
´
on.
de la estructura, y se ubica mayormente bajo el parche,
donde se presenta el efecto de placas planas paralelas. Sin
embargo, existen tambi
´
en componentes tangenciales a la
superficie que, como se puede observar en los cuadros b
y f (para el primer y segundo modo, respectivamente), son
muy notorias en los bordes de la celda unitaria, evidenciando
acoplamiento capacitivo entre celdas vecinas. La diferencia
entre los campos magn
´
eticos generados en la celda unitaria,
por su parte, permite deducir la existencia de corrientes,
principalmente a trav
´
es de los puentes que unen a las celdas.
Un an
´
alisis m
´
as intuitivamente significativo se puede
obtener a partir del comportamiento en dos tiempos distintos
(o dos fases distintas) de los campos normales a la superficie,
que se puede observar en la figura 4, donde s
´
olo se grafica-
ron los valores positivos (salientes del papel) para simplificar
la explicaci
´
on. Para el primer modo de propagaci
´
on, el
parche se comporta como un capacitor de placas planas
paralelas (cuadros a y b), mientras que para el segundo modo
de propagaci
´
on la estructura se divide horizontalmente en
dos secciones iguales con campos opuestos. El an
´
alisis de
los campos magn
´
eticos permite deducir, como se observa
en la figura (donde se ilustr
´
o, adem
´
as, la regla de la mano
derecha), que para el primer modo de propagaci
´
on las
corrientes entran y salen del parche central a trav
´
es de los
puentes horizontales, en forma sincronizada, en funci
´
on del
valor del campo el
´
ectrico normal a la superficie. Para el
segundo modo, en cambio, existen corrientes que circulan
por los bordes de los bloques de las esquinas, generando
un comportamiento m
´
as complejo, que deber
´
a ser tenido en
cuenta al momento de plantear el modelo.
Plano conductor inferior
d
d
g
h
w
b
l
d
l
d
w
Figura 5: Primer circuito equivalente propuesto.
III. RESULTADOS
III-A. Modelado circuital de la Celda de Yang
Aqui se presentan parte de los resultados obtenidos en la
Tesis de Ingenier
´
ıa Electr
´
onica del Ing. Federico Luna [20].
La forma m
´
as sencilla de modelar el comportamiento
resonante es la representaci
´
on circuital utilizando compo-
nentes lineales, cuyo valor no var
´
ıa con la frecuencia. En la
misma deben intervenir capacitores e inductores con valores
seleccionados en funci
´
on del comportamiento de la energ
´
ıa
en la estructura. Si bien los efectos de altas frecuencias no
podr
´
an ser analizados bajo esta representaci
´
on, dado que no
se consideran par
´
ametros distribuidos ni se tiene en cuenta
la variaci
´
on de las capacitancias e inductancias asociadas en
funci
´
on de la frecuencia, s
´
ı deber
´
ıa ser posible observar, al
menos en forma general, los fen
´
omenos analizados para las
frecuencias de trabajo, de manera que se pueda abordar el
problema intuitivamente.
Para el caso particular de la celda de Yang, a ra
´
ız del
an
´
alisis del comportamiento de los campos, resulta f
´
acil
comprender que, si bien los fen
´
omenos que intervienen son
numerosos, los m
´
as importantes est
´
an fuertemente vincula-
dos a la circulaci
´
on de corriente por el puente y al desarrollo
del campo el
´
ectrico entre las celdas.
Se propusieron distintos circuitos, de diversa complejidad,
para representar a cada celda unitaria propuesta por Yang.
Utilizando los par
´
ametros de dispersi
´
on, o par
´
ametros S
[21], se analizaron las redes el
´
ectricas, y en particular la
transmisi
´
on (par
´
ametro S
21
) de cada uno, en vistas de lograr
un comportamiento similar al obtenido cuando se utiliza el
software CST Microwave Studio para simular la estructura.
Para la construcci
´
on y validaci
´
on de un modelo circuital
equivalente, se utiliz
´
o una celda unitaria testigo. Se estable-
cieron arbitrariamente los valores geom
´
etricos del Cuadro
I, definidos en la figura 5. Se eligi
´
o como diel
´
ectrico, por
disponibilidad en el mercado, al FR-4, un material compues-
to, laminado de epoxy, de amplio uso en la fabricaci
´
on de
PCBs, cuya permitividad relativa es de 4,4.
El primero de los circuitos propuestos se puede observar
en la Figura 5. En el mismo se intent
´
o utilizar un bloque LC
paralelo resonante para obtener un bandgap para el rango
de frecuencias deseado.
La estructura LC paralela posee una frecuencia de re-
sonancia en f = 1/(2π
p
L
b
C
g
), en la que abandona su
comportamiento inductivo, y adopta uno predominantemente
capacitivo. Para esa frecuencia, existe un intercambio de
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d l w d
l
g h d
w
22,6 6 1,1 0,8 0,8 1,6 16,6
Cuadro I: Valores geom
´
etricos de la celda unitaria analizada,
elegidos arbitrariamente. Valores expresados en mm.
L
b
Ec. 1 Ec. 2 Q3DExtractor
7,34 nH 8,2 nH 7,7 nH
C
g
Ec. 3 Q3DExtractor
163 fF 130 fF
C
p
Superficie Ec. 5 Q3DExtractor
458 mm
2
11,14 pF 12,26 pF
Cuadro II: Valores de capacitancia e inductancia para el
circuito equivalente, obtenidos mediante distintos m
´
etodos.
energ
´
ıa entre el inductor y el capacitor, de forma que la
impedancia de entrada presenta un m
´
aximo. A esta frecuen-
cia, entonces, el circuito se comporta como un filtro de
tipo notch, que podr
´
ıa explicar parte del comportamiento
de bandgap en microondas.
Por otro lado, la existencia de una capacitancia de las
celdas contra el plano de tierra da lugar, al menos para las
bajas frecuencias, a un comportamiento pasabajos, debido a
la relaci
´
on entre los componentes L
b
y C
p
.
La inductancia parcial del puente, L
b
, se obtiene en
base a 3 c
´
alculos independientes, provenientes de modelos
distintos de comportamiento de estructuras microstrip, y
cuyos resultados se muestran en el cuadro II. El primero de
los m
´
etodos utilizados es mostrado en la ecuaci
´
on 1 [22].
L
b
= 0,2 nH/mm · ln
2π
h
w
. (1)
El segundo m
´
etodo es el propuesto por C. Paul en [23]:
L
b
=
(
60l
c
ln
8h
w
+
w
4h
,
w
h
≤ 1
120πl
c
1
w/h+1,393+0,667 ln(w/h+1,444)
,
w
h
> 1
(2)
Por
´
ultimo, la inductancia parcial se calcul
´
o utilizando el
software Ansys Q3D Extractor de Ansoft, que realiza simu-
laciones cuasiest
´
aticas utilizando el m
´
etodo BEM (Boundary
Element Method).
El valor de la capacitancia entre las protuberancias de las
celdas unitarias, C
g
, se calcul
´
o utilizando la expresi
´
on de la
ecuaci
´
on 3 [24]:
C
g
=
d
w
0
(1 +
r
)
π
cosh
−1
2d
w
+ g
g
. (3)
Adem
´
as, se utiliz
´
o tambi
´
en Q3D Extractor para obtener
un valor aproximado de capacitancia. Para la simulaci
´
on fue
necesario eliminar el puente microstrip que conectaba a las
celdas unitarias, debido a que, dado que la simulaci
´
on es
cuasiest
´
atica, si el conductor es el mismo, la capacitancia
resulta nula. La geometr
´
ıa utilizada en la simulaci
´
on se
muestra en la figura 6.
Se observa que los valores son disimiles entre s
´
ı, por
lo que, en el circuito, el valor de esta capacitancia deber
´
a
ser establecido por deducci
´
on en base al comportamiento
en frecuencia, manteniendo estos valores como referencia o
cotas aproximadas.
Finalmente, la capacitancia contra el plano de tierra, C
p
,
se calcul
´
o utilizando la noci
´
on de capacitor de placas planas
Figura 6: Geometr
´
ıa utilizada para la obtenci
´
on de la capa-
cidad entre celdas unitarias.
1 2 3 4 5 6 7
Frecuencia (GHz)
−100
−80
−60
−40
−20
0
S21 (dB)
Par´ametro S21 para el modelo LC paralelo
r
: 4.5. Ancho FR4: 1.6 mm
Simulaci´on
Modelo 1
Figura 7: Comportamiento del par
´
ametro S
21
para el modelo
1.
paralelas, debido a la corta distancia entre las celdas unita-
rias y el plano de tierra (seg
´
un el cuadro I, h = 1,6 mm).
El
´
area total resulta:
Sup = l
2
+ 4d
2
w
+ 4
d − l
2
w −4
l −w − 2d
l
2
2
, (4)
C
p
=
Sup
0
r
h
. (5)
Adem
´
as, se utiliz
´
o el software de simulaci
´
on Q3D Extrac-
tor para obtener un resultado comparativo. Los resultados se
muestran tambi
´
en en el cuadro II, en donde se observa que
la aproximaci
´
on de placas planas paralelas ofrece un valor
cercano al simulado utilizando BEM, incluso cuando no se
consideran los efectos de fringing en los bordes.
Tras la estimaci
´
on de los valores circuitales correspon-
dientes, se debe analizar el comportamiento del par
´
ametro
S
21
de la estructura, para estudiar el efecto de atenuaci
´
on. El
mismo se muestra en la Figura 7, donde se grafica, adem
´
as,
el comportamiento de este par
´
ametro seg
´
un simulaciones
de onda completa realizadas con CST Microwave Studio,
utilizando FEM (Finite Elements Method). La frecuencia
de resonancia de la simulaci
´
on, 2.51 GHz, es lejana a
las posibles frecuencias de resonancias, 3,07 GHz ≈
1/(2π
p
L
b
2C
g
) ≤ 3,75 GHz, seg
´
un los m
´
aximos y
m
´
ınimos valores posibles de L
b
y C
g
mostrados en el cuadro
II.
Bajo estas consideraciones, resulta menester evaluar m
´
as
condiciones que las seleccionadas inicialmente. Si se asu-
me que las esquinas presentan, al camino de la corriente
que circula por el parche, una inductancia que no resulta
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Plano conductor inferior
w
/2
c
/2
c
/2
c
/2
c
w
w
w
b
c
c
Figura 8: Segundo circuito equivalente propuesto.
L
ω
Ec. 5 Ec. 2 Q3DExtractor
2 nH 1,55 nH 4 nH
Cuadro III: Valores obtenidos de L
ω
seg
´
un distintos m
´
eto-
dos.
despreciable, la misma resonar
´
a en serie con el capacitor
C
g
, imponiendo una menor impedancia para un rango de
frecuencias, habilitando un camino de corriente, y mejo-
rando la transferencia a trav
´
es de la celda unitaria, lo que
efectivamente limitar
´
ıa el ancho de banda del bandgap. El
circuito propuesto se muestra en la Figura 8.
El valor de la inductancia que imponen los parches de
las esquinas se calcul
´
o de tres formaas: La primera se
basa en el uso de la ecuaci
´
on 5; la segunda, en el uso
de la ecuaci
´
on 2; y finalmente, se realizaron simulaciones
utilizando Q3D Extractor, para validar el uso de las expre-
siones. Los resultados se muestran en el cuadro III. Resulta
importante, sin embargo, se
˜
nalar que, si bien la inductancia
es un par
´
ametro puramente geom
´
etrico, las posiciones de
los puertos puntuales de entrada y salida de la simulaci
´
on
modifican su valor. Estas posiciones no son tenidas en cuenta
en las expresiones propuestas por la literatura, pero se las
considera lo suficientemente cercanas al valor final.
La frecuencia de resonancia serie resulta, entonces, de
f
serie
r
=
1
2π
p
C
g
2L
w
, (6)
que, para los par
´
ametros geom
´
etricos establecidos, var
´
ıa
entre 4,4 GHz y 7,9 GHz, donde la mayor incertidumbre
est
´
a dada por el valor de L
w
.
La aparici
´
on de estas nuevas inductancias L
w
modificar
´
a
fuertemente la frecuencia de resonancia del circuito LC
paralelo analizado antes (compuesto por C
g
y L
b
). Para este
nuevo circuito, la inductancia vista por los terminales de C
g
est
´
a dada por L
b
+2L
w
/2, debido a que por los componentes
circuitales correspondientes a las esquinas s
´
olo circula la
mitad de la corriente que lo hace por la inductancia central.
El valor de la frecuencia de resonancia del modelo, entonces,
debido al aumento de la inductancia equivalente, disminuye,
para adoptar valores cercanos a las frecuencias 2,5 GHz y
3,3 GHz. Este mismo cambio de resonancia se observar
´
ıa
si las inductancias L
w
estuvieran dispuestas sobre la rama
central.
En este punto, es posible obtener el diagrama de disper-
si
´
on a efectos puramente ilustrativos, y utilizando el circuito
de la Figura 8. Para el mismo, los valores de impedancia y
admitancia por unidad de longitud resultan
f
r
serie
f
r
paralela
Figura 9: Comparaci
´
on del diagrama de dispersi
´
on obtenido
de la ecuaci
´
on 9 y el obtenido mediante simulaci
´
on del
par
´
ametro S
21
del circuito de la figura 8.
Z
0
d = jωL
c
+ jω
L
b
− ω
2
L
w
C
g
1 − ω
2
C
g
(L
w
+ 2L
b
)
, (7)
Y
0
d = jωC
c
, (8)
por lo que el valor de la constante de propagaci
´
on γ =
√
−Z
0
Y
0
resulta
γ =
ω
a
s
L
c
C
c
+ C
c
L
b
− ω
2
L
w
C
g
L
b
1 − ω
2
(L
w
C
g
+ 2L
b
C
g
)
, (9)
cuya gr
´
afica se puede observar en a la izquierda de la
Figura 9, donde en azul se representa la parte real, y en
naranja la parte imaginaria. Resulta importante recordar
que, si bien la gr
´
afica es obtenida en base a los valores
circuitales promedio obtenidos por todos los c
´
alculos de
cada par
´
ametro, la misma pierde validez si no se cumple
la hip
´
otesis d < λ
g
/4, por lo que s
´
olo se puede confiar en
los valores bajos de β. En este caso, el valor de la frecuencia
de resonancia es de 3,3 GHz.
Resulta ilustrativo comparar el diagrama de dispersi
´
on
obtenido con la gr
´
afica del par
´
ametro S
21
en funci
´
on de
la frecuencia, mostrada a la derecha de la figura 9, dado
que si bien el an
´
alisis es diferente, la situaci
´
on f
´
ısica es la
misma. En dicha figura, el bandgap est
´
a marcado en un tono
m
´
as oscuro. Se observa que el mismo comienza aproxima-
damente en la frecuencia de resonancia paralela (3,3 GHz,
calculada como la de peor caso seg
´
un el modelo), en la que
presenta un notch, y contin
´
ua hasta las inmediaciones de la
frecuencia de resonancia serie (6,4 GHz) analizada antes.
Queda a
´
un por explicar el comportamiento de la trans-
ferencia en la banda ubicada entre las dos frecuencias de
resonancia, donde los efectos no pueden considerarse fruto
de la relaci
´
on entre los elementos de un subconjunto del
circuito. Resulta necesario tener en cuenta la inductancia
que impone el parche central, an
´
aloga a la que imponen
las esquinas de la celda unitaria. Esto obliga a que la
capacitancia de la celda unitaria no sea
´
unica y centralizada,
como hasta el momento, sino que debe estar correctamente
distribuida en la geometr
´
ıa: parte de la capacitancia se debe
al aporte de las esquinas, y otra parte al parche central. El
circuito, m
´
as complejo, se muestra en la Figura 10.
Se puede observar que se agregaron las capacitancias de
las secciones de las esquinas (C
w
), y se ubicaron en un nodo
intermedio, entre la capacitancia de gap C
g
y la capacitancia
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Plano conductor inferior
/2
/2
w
/2
w
/2
w
/2
w
/2
w
/2
c
/2
c
/2
c
/2
c
/2
w
/2
w
w
/2
w
/2
w
/2
b
/2
b
w
w
w
w
b
c
c
w
w
'
'
'
'
Figura 10: Tercer circuito equivalente propuesto.
del bloque central C
c
, que ahora queda redefinida, dado que
deja de representar a toda la superficie de la cara superior
de la celda unitaria, para restringirse al cuadro central. Este
cuadro, adem
´
as, ahora presenta inductancia L
c
. Adem
´
as, se
tuvo en cuenta la capacitancia contra el plano de tierra del
puente, C
b
. Finalmente, se consider
´
o el efecto de aquellas
esquinas que no poseen una celda vecina, lo que aumenta la
capacitancia de la esquina (debido al efecto de fringe [21])
y la inductancia a considerar. Estos nuevos valores est
´
an
representados por C
0
w
y L
0
w
, y resultan importantes debido a
que esta capacitancia e inductancia resuenan a la frecuencia
de inter
´
es, generando un camino de baja impedancia para la
corriente y disminuyendo, por tanto, la transferencia.
El comportamiento del par
´
ametro S
21
se puede observar
en rojo en la Figura 12, para la cual se seleccionaron valores
de los componentes circuitales dentro del rango impuesto
por los c
´
alculos anteriores, de manera que las frecuencias de
inter
´
es coincidieran. Los valores finales utilizados se detallan
en el cuadro IV. No solo la frecuencia de resonancia es ahora
predicha en forma adecuada, sino que el comportamiento
para frecuencias cercanas, hasta aproximadamente 4,5 GHz
tambi
´
en lo es. Alrededor de los 6 GHz se observa que el
modelo predice adecuadamente que el valor de S
21
aumenta,
aunque no as
´
ı los efectos de orden superior para esas
frecuencias, debido a que la longitud de onda resulta compa-
rable al tama
˜
no de la celda unitaria, invalidando el modelo.
Se puede apreciar, sin embargo, un efecto resonante singular
alrededor de 2,3 GHz cuya causa no fue encontrada.
Por
´
ultimo, resta considerar las p
´
erdidas por conductivi-
dad y las p
´
erdidas diel
´
ectricas, para incorporarlas al circuito
equivalente propuesto. Las p
´
erdidas por conductividad pue-
den ser representadas por una resistencia representando el
comportamiento en corriente continua y otra en corriente
alterna. Para la corriente continua, la resistencia que impone
una cinta microstrip depende de su largo l y la superficie
que es atravesada por el flujo, S. Para el caso de corriente
alterna, debido al efecto skin, se debe tener en cuenta la
profundidad de penetraci
´
on δ
s
, de manera que [21]
R
dc
=
l
σS
, (10)
Plano conductor inferior
/2
w
/2
w
/2
c
/2
c
/2
c
/2
w
/2
w
/2
cs
R
/2
cs
R
/2
cs
R
/2
cs
R
cp
R
cp
R
wp
R
wp
R
wp
R
bp
R
wp
R
/2
bs
R
/2
bs
R
/2
c
ws
R
ws
R
ws
R
ws
R
ws
R
ws
R
ws
R
ws
R
/2
/2
/2
/2
/2
/2
/2
/2
/2
w
/2
w
/2
w
wp
R
ws
R
/2
w
/2
w
wp
R
ws
R
/2
'
'
'
'
'
'
'
'
/2
b
w
b
c
/2
b
/2
w
/2
w
c
w
w
w
w
Figura 11: Circuito final equivalente propuesto.
L
b
6,8 nH C
g
135 fF L
w
1,47 nH
C
c
1,56 pF C
b
487 fF C
w
2 pF
C
0
w
2,53 pF L
0
w
2,54 nH L
c
0,75 nH
R
wp
936 Ω R
ws
0,01 Ω R
cs
0,01 Ω
R
bp
0,15 Ω R
bs
4953 Ω R
cp
1509 Ω
Cuadro IV: Valores finales de los par
´
ametros circuitales
obtenidos.
R
ac
=
l
2σδ
s
(w + t)
=
l
√
πfµσ
2σδ
s
(w + t)
, (11)
R
s
= R
dc
+ R
ac
=
l
σ
1
σ
+
√
πfµσ
2(w + t)
, (12)
donde w es el ancho de la cinta microstrip considerada, t
es su ancho vertical, y f es la frecuencia a la que se desea
encontrar la resistencia que modela el efecto en corriente
alterna. El valor de la conductividad del cobre, σ, es de
5,7 10
−7
S.
Las p
´
erdidas diel
´
ectricas se representan como una conduc-
tancia G dispuesta en paralelo a los capacitores que vinculan
la capa superior de la celda unitaria con el plano de tierra.
La misma puede ser calculada en base a la tangente de
p
´
erdidas del material ofrecida por el fabricante, que para FR-
4 es de 0.017. El uso de una tangente de p
´
erdidas asume la
existencia de una impedancia compleja entre la capa superior
y el plano de tierra en una celda unitaria, de manera que
esta tangente representa la relaci
´
on entre las partes real e
imaginaria:
tan(δ) = X/R =
1/ωC
R
=
G
ωC
, (13)
G = ωC tan(δ) =
1
R
p
. (14)
El circuito final, considerando resistencias, se puede ob-
servar en la Figura 11, y el resultado de la simulaci
´
on se
muestra en verde en la gr
´
afica de la figura 12. Es posible
observar que el efecto resonante desconocido ubicado en
aproximadamente 2,3 GHz se ve ampliamente atenuado al
considerar las p
´
erdidas resistivas.
Resulta posible, adem
´
as, comparar las simulaciones de
par
´
ametros S
21
con simulaciones en CST Microwave Studio
de celdas unitarias con condiciones de borde peri
´
odicas.
Para el caso de la celda unitaria analizada, el diagrama
de dispersi
´
on en dos dimensiones obtenido a partir de la
simulaci
´
on tridimensional se muestra en la Figura 13, donde
se puede observar que se da un bandgap completo entre los
2,5 y 3,7 GHz. En este diagrama, el eje de las abscisas
representa no solo el valor de la constante de propagaci
´
on
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Figura 12: Comportamiento del par
´
ametro S
21
para el mode-
lo propuesto, con y sin resistencias de p
´
erdidas, comparados
a la simulaci
´
on
β
x
β
y
M
X
Γ
-π/d
x
π/d
x
π/d
y
-π/d
y
Figura 13: Diagrama de dispersi
´
on obtenido mediante el
software CST Microwave Studio para la celda de Yang,
seg
´
un los par
´
ametros definidos en el cuadro I. Las l
´
ıneas
de vista representan el comportamiento para materiales
homog
´
eneos.
β, sino tambi
´
en su direcci
´
on, que cambia a medida que el
vector que las describe, con origen en el centro de la celda
unitaria, recorre, con sus sucesivas posiciones, el contorno
de la zona irreducible de Brillouin en el espacio de Bravais
(red rec
´
ıproca), que en este caso es un tri
´
angulo entre los
v
´
ertices Γ, X y M, como se ilustra en la misma figura. En
el an
´
alisis circuital s
´
olo se consider
´
o la direcci
´
on Γ −X, la
direcci
´
on principal de la periodicidad del material, en la que
el mismo comienza en 2 GHz. Una comparaci
´
on de ambos
an
´
alisis se puede observar en la Figura 14, donde, adem
´
as, se
demarca en gris la banda de frecuencias de bandgap seg
´
un
el diagrama de dispersi
´
on, para simplificar la comparaci
´
on
con el comportamiento del par
´
ametro S
21
.
Finalmente, es posible analizar el comportamiento del
par
´
ametro S
11
, en vistas de comprobar que el comporta-
miento de bandgap se debe principalmente al fen
´
omeno
de Bragg, que est
´
a vinculado a la resonancia en la celda
unitaria, ya que esta es la principal causante de la variaci
´
on
de la velocidad de propagaci
´
on en la estructura. Cabe
aclarar que durante el an
´
alisis y construcci
´
on del modelo,
el par
´
ametro S
11
de la estructura, relacionado a la energ
´
ıa
reflejada por cada celda unitaria, no fue considerado en el
ajuste. Sin embargo, debido a que el fen
´
omeno de bandgap
electromagn
´
etico se produce principalmente por el efecto
de la periodicidad, y no por radiaci
´
on de la energ
´
ıa no
propagada, es de esperar que el modelo contemple, por su
construcci
´
on intuitiva, los efectos de reflexi
´
on circuital. La
Figura 14: Comparaci
´
on entre el diagrama de dispersi
´
on
obtenido considerando condiciones de borde peri
´
odicas y
resultado de la simulaci
´
on de par
´
ametros S.
Figura 15: Comparaci
´
on entre la magnitud del par
´
ametro
S
11
simulado con CST Microwave Studio y el obtenido
mediante el modelo propuesto.
comparaci
´
on de las gr
´
aficas seg
´
un el modelo y seg
´
un la
simulaci
´
on de onda completa realizada con CST se puede
observar en la Figura 15, de la que se puede deducir que la
energ
´
ıa, en el bandgap, es devuelta casi en su totalidad al
puerto de entrada.
Bajo las mismas consideraciones, es posible analizar la
fase de las se
˜
nales que regresan al puerto de incidencia res-
pecto de la se
˜
nal original, para lo que resulta
´
util considerar
la fase del par
´
ametro S
11
. Cuando la fase es de 180
◦
, la
se
˜
nal es reflejada en contrafase, efectivamente impidiendo o
dificultando la propagaci
´
on de la onda. Las gr
´
aficas, tambi
´
en
para el caso simulado y el modelado circuitalmente, se
muestran en la Figura 16.
IV. CONCLUSIONES
En este trabajo se model
´
o circuitalmente una estructura de
banda prohibida electromagn
´
etica basada en la periodizaci
´
on
bidimensional de una celda de Yang et al.
En base a un an
´
alisis de onda completa preliminar, se
obtuvieron y analizaron, utilizando t
´
ecnicas de modelado de
l
´
ıneas microstrip, cuatro circuitos el
´
ectricos equivalentes de
la celda unitaria de Yang. Si bien no se realizaron medicio-
nes, los materiales seleccionados para la construcci
´
on del
modelo de referencia permitir
´
an, en un trabajo futuro, la
construcci
´
on y validaci
´
on.
La validaci
´
on de los modelos circuitales propuestos se
realiz
´
o mediante la comparaci
´
on con simulaciones de onda
completa, y para el
´
ultimo circuito propuesto, que incluye
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Figura 16: Comparaci
´
on entre la fase del par
´
ametro S
11
simulado con CST Microwave Studio y el obtenido median-
te el modelo propuesto. Las l
´
ıneas punteadas representan
m
´
ultiplos impares de 180
◦
.
p
´
erdidas por efecto Joule y pelicular, se hall
´
o una buena
aproximaci
´
on.
Un modelo circuital equivalente y de construcci
´
on in-
tuitiva de una celda de metamaterial permite el an
´
alisis
param
´
etrico sencillo, en funci
´
on de elementos circuitales de
par
´
ametros concentrados, seleccionados de forma que sea
evidente su relaci
´
on directa a la geometr
´
ıa de la celda. De
esta forma, a partir de unas pocas simulaciones de onda
completa, es posible facilitar y agilizar el dise
˜
no iterativo
de una estructura EBG.
Todos los resultados, tanto los parciales como el modelo
final, fueron contrastados con simulaciones de onda com-
pleta de CST Microwave Studio.
Resulta importante destacar que el modelo, por su senci-
llez, y porque requiere de una simulaci
´
on de onda completa
para ajustar los valores de los par
´
ametros circuitales, no
reemplaza a la simulaci
´
on de onda completa en el dise
˜
no de
estructuras EBG, sino que es una herramienta que permite
reducir su uso al estudio de efectos de segundo orden.
La intenci
´
on de este trabajo es que, mediante la expo-
sici
´
on completa de los pormenores del proceso de dise
˜
no
del modelo circuital equivalente, facilite la construcci
´
on de
modelos similares para otras celdas unitarias uniplanares
bidimensionales, por la aplicaci
´
on de los mismos principios.
Cabe destacar que en este trabajo se han presentado
algunos resultados obtenidos que se encuentran en la Tesis
de Ingenier
´
ıa Electr
´
onica del Ing. Federico Luna.
V. AGRADECIMIENTOS
Se agradece la asistencia prestada por el Ing. Trainotti
y el Mg. Ing. Ramiro Alonso, del Laboratorio de Radia-
ci
´
on Electromagn
´
etica de la Facultad de Ingenier
´
ıa de la
Universidad de Buenos Aires, as
´
ı como al Ing. Julio Zola,
a la Dr. Liliana Perez y al Dr. Ing. Guillermo Santiago,
quienes fueron jurados de la tesis de grado en que se basa
este trabajo, y ofrecieron sus puntos de vista y correccio-
nes. Se agradece, adem
´
as, a los miembros del Centro de
Comunicaci
´
on Cient
´
ıfica de la Unidad de Tecnolog
´
ıas de la
Informaci
´
on de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
de la Universidad de Buenos Aires, por los recursos de hard-
ware que permitieron realizar las simulaciones del presente
trabajo.
El presente trabajo se realiz
´
o en el marco del proyecto de
Investigacion UBACyT C
´
odigo 20020150100085.
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ISSN 2525-0159
34
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