Control cinemático para un robot cuadrúpedo
usando el Método de Newton-Raphson
Kinematic control for a quadruped robot using the Newton-Raphson method
Luis A. Orbegoso, Cristian A. Rodríguez, Edgar D. Valverde
Ingeniería Mecatrónica, Universidad Nacional de Trujillo
Trujillo, La Libertad, Perú
lorbegoso@unitru.edu.pe
carodriguez@unitru.edu.pe
dvalverde@unitru.edu.pe
Abstract— The present work consisted of the
implementation of a method for the solution of the inverse
kinematic problem of a quadruped robot in four limbs with 3
degrees of freedom each. The proposed solution was supported
by the application of an iterative method (Newton-Raphson)
and special emphasis was placed on fine-tuning the algorithm
parameters, that is, the number of iterations and the threshold
distance, in order to guarantee the convergence of the solution
in a few iterations. The work proposed to use the same method
both for the function of walking by following the trajectory of
a closed Bézier curve of five points, as well as for the control of
body posture through the development of pitch and roll
movements, and yaw from the base. The results of this solution
were simulated in the PyBullet module to which the numerical
values of the joints of the quadruped robot obtained from the
inverse kinematics were exported to validate its behavior and
movements in a simulated physical environment.
Keywords: direct kinematics, inverse kinematics, Newton-
Raphson method, quadruped robot.
Resumen— El presente trabajo consistió en la
implementación de un método para la solución del problema
cinemático inverso de un robot cuadrúpedo cuyas cuatro
extremidades contaron con 3 grados de libertad cada una. La
solución propuesta se apoyó en la aplicación de un método
iterativo (Newton-Raphson) y se hizo especial énfasis en afinar
los parámetros del algoritmo, es decir la cantidad de
iteraciones y la distancia umbral, a fin de garantizar la
convergencia de la solución en pocas iteraciones. El trabajo
propuso utilizar el mismo método tanto para la función de
caminar mediante el seguimiento de la trayectoria de una
curva de Bézier cerrada de cinco puntos, así como para la del
control de postura del cuerpo a través del desarrollo de los
movimientos de pitch, roll y yaw de la base. Los resultados de
esta solución fueron simulados en el módulo PyBullet al cual se
exportaron los valores numéricos de las articulaciones del
robot cuadrúpedo obtenidas a partir de la cinemática inversa
para validar su comportamiento y movimientos en un entorno
físico simulado.
Palabras clave: cinemática directa, cinemática inversa, método
de Newton-Raphson, robot cuadrúpedo.
I. INTRODUCCIÓN
El problema de la cinemática inversa (CI) consiste en
encontrar un vector de valores articulares que posicionan y
orientan el extremo efector del robot en un lugar deseado o
punto objetivo en su dominio de desempeño, lográndose de
este modo el control de la postura. El desarrollo de este
problema encuentra aplicaciones en diversas áreas
tecnológicas como la robótica, los gráficos por ordenador y
la ergonomía, entre otras aplicaciones.
Una de las primeras soluciones a este problema consiste
en el método geométrico y el método analítico, donde los
valores articulares para una posición deseada se hallan a
partir de funciones trigonométricas inversas. Pero estos
métodos se limitan a estructuras simples generalmente de no
más de 3 grados de libertad (GDL) como lo indica Antonio
Barrietos et al en [1].
A medida que se aumentan los grados de libertad como
también la complejidad geométrica del cuerpo de un robot,
se tiene que recurrir a otros métodos que permitan obtener
alguna soluciones numéricas que satisfagan la condición de
posición deseada. Una de las aproximaciones numéricas
más populares consiste en hacer uso de la matriz jacobiana
obtenida a partir de la cinemática directa, puesto que esta
matriz puede linealizar el problema de la CI para un espacio
relativamente reducido al extremo efector. Esta
aproximación se mejora al hacer uso del método iterativo de
Newton empleando la matriz jacobiana inversa, produciendo
transiciones de posturas suaves. Sin embargo, las iteraciones
requieren de cierto coste computacional, además de que la
jacobiana inversa cuenta con singularidades que otros
métodos tales como Jacobian Transpose y Damped Least
Square (DLS) buscan solucionar al hacer uso de
aproximaciones a la jacobiana inversa.
Otro método para hallar la CI es dado por Pechev en [2],
donde asume este problema desde el enfoque del control,
trasladando el extremo efector del sistema al estado deseado
o punto objetivo a partir del punto inicial de dicho efector.
Este método al no contar con los problemas de las
singularidades de la matriz inversa, es computacionalmente
más eficiente que los anteriores mencionados.
Recibido: 14/02/21; Aceptado: 26/04/21
Creative Commons License - Attribution-NonCommercial-
NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0)
https://doi.org/10.37537/rev.elektron.5.1.125.2021
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Del mismo modo, el método propuesto por Andreas
Aristidou en [3] denominado FABRIK soluciona el
problema de la CI evitando el uso de ángulos como matrices
de rotación y en su lugar encuentra cada posición a partir de
la ubicación de puntos de una recta. De este modo se
produce una convergencia que requiere de pocas iteraciones
y por ende cuenta con un bajo coste computacional,
permitiendo el desarrollo de posturas realistas al final del
algoritmo.
Uno de los trabajos relacionados al desarrollo de la CI
para un robot cuadrúpedo es presentado por Muhammed
Arif Sen et al en [4], donde a partir del desarrollo de la
cinemática directa para cada una de las extremidades de 3
GDL del robot cuadrúpedo utilizando matrices de
transformación homogéneas con los parámetros de
Denavit-Hartenberg, encuentra la solución a la CI utilizando
el método analítico para posteriormente controlar la
orientación de la base en MATLAB.
Otro trabajo relacionado a la CI para un robot
cuadrúpedo viene a ser presentado por Alain Segundo Pots
et al en [5], donde además de desarrollar la CI para las
extremidades del robot haciendo uso nuevamente del
método analítico, analiza las singularidades de dichas
soluciones para delimitar el área de desempeño de las
extremidades relativo a la base.
Cabe resaltar que los robots caminantes, presentan una
mayor ventaja, con respecto a los robots con ruedas, para
desplazarse en terrenos irregulares. Por el contrario
presentan un análisis cinemático más complejo, y un mayor
número de parámetros a controlar, por lo tanto un mayor
rango de movimientos complejos.
Uno de los trabajos más actualizado y completo para el
control de un robot cuadrúpedo es presentado por Lee. J et
al en [6] donde se utilizó Aprendizaje Reforzado (AR) en
una simulación física del robot cuadrúpedo ANYmal para
entrenar el modelo en diferentes escenarios virtuales sin que
el robot tenga acceso a la información del entorno externo
más que con el conocimiento de sus estados internos a
través de sensores propioceptivos. De este modo, se llegó a
obtener una Inteligencia Artificial capaz de controlar los
movimientos de un robot cuadrúpedo según el entorno y su
estado en este. Cuyos movimientos eran seguidos mediante
la solución analítica de la CI propia de las extremidades del
robot.
Ahora, el objetivo de este trabajo consiste en
implementar el método de Newton-Raphson (MNR)
explicado por Antonio Nieves y Federico Dominguez en [7],
un método iterativo que emplea la inversa de la matriz
jacobiana, para realizar el control cinemático de un robot
cuadrúpedo con patas de 3 GDL, el cual requiere de la
solución en tiempo real de la cinemática inversa para su
movimiento y orientación en conjunto en un entorno de
simulación física. Para una explicación más ilustrativa y
resumida del presente manuscrito, consultar el video en [8].
II. MATERIALES Y MÉTODOS
El modelo del robot cuadrúpedo con el cual se trabaja es
de autoría propia y fue previamente diseñado en el programa
Fusion 360.
Fig. 1. Modelo CAD del robot cuadrúpedo.
La configuración de las patas de este modelo fueron del
tipo mamífero y para su análisis respectivo se consideró el
modelo por eslabones que se muestra en la Fig.2.
Fig. 2. Modelo simplificado de una pata del robot cuadrúpedo.
Los datos de las dimensiones de la base y las longitudes
de los eslabones que conforman las extremidades del robot
así como las variables a considerar para el análisis
cinemático del robot cuadrúpedo presentado se muestran en
la Tabla I.
TABLA I
TABLA DE DIMENSIONES Y VARIABLES DEL ROBOT CUADRÚPEDO
Dimensionamiento
Físico
Largo del robot
15 cm
Ancho del robot
13.5 cm
Longitud
1.2532 cm
Longitud
0.585 cm
Longitud
4.5 cm
Longitud
5 cm
Variables
Ángulo de inclinación (Pitch)
α
Ángulo de balanceo (Roll)
β
Ángulo de guiñada (Yaw)
ϑ
Ángulo de articulación de
giro lateral
Ángulo de articulación
Ángulo entre y
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Los valores numéricos que comprenden a cada
articulación fueron de , y
. Los ángulos se expresan en términos de
conjunto como el vector [q]=[q
0
, q
1
, q
2
,], cuyo valor inicial
para todas las patas del robot cuadrúpedo es [q
0
]
. Del mismo modo, el dominio de valores
que comprenden los ángulos referente a la orientación de la
base fueron de , y
.
La solución a la cinemática directa se obtuvo mediante
la aplicación de cuaternios en lugar de a la matriz de
transformación homogénea. Se partió del origen de
coordenadas relativo a la base de cada extremidad y con un
sistema de vectores base ortonormal que conformaban en un
inicio a la matriz identidad. Luego, por cada rotación en las
articulaciones se rotó a cada vector base haciendo uso del
cuaternio asociado con dicha rotación, de este modo se
obtenía un nuevo sistema base ortonormal de vectores
obtenido a partir de la rotación del sistema base anterior
respecto al eje de la articulación rotativa, mientras que por
cada traslación se sumaba a la coordenada actual de la
articulación la longitud del eslabón siguiente multiplicado
por el vector unitario de la base correspondiente a la
dirección de dicho eslabón.
Posteriormente, la solución numérica de la cinemática
inversa para las patas del robot cuadrúpedo se desarrolló
mediante el uso del MNR, tomando como función objetivo a
la función de ℝ
3
ℝ
3
obtenida como desarrollo de la
cinemática directa para una pata del robot.
Así mismo, se utilizaron librerías Python tales como
Numpy para trabajar con matrices y SciPy para manejar las
rotaciones en el espacio. Las funciones resultantes de la
cinemática directa y su jacobiana inversa fueron tratadas y
calculadas usando el módulo SymPy para trabajar con
expresiones simbólicas y posterior sustitución a valor
numérico. El módulo de Tkinter se empleó para el
desarrollo de la interfaz gráfica la cual a través de widgets
permitió interactivamente manipular la trayectoria así como
el movimiento de cada extremidad y la dirección de la base
del robot, en esa misma interfaz, Matplotlib se empleó para
graficar los resultados del MNR. Finalmente, el módulo de
PyBullet sirvió para simular en un entorno físico dichos
resultados del robot cuadrúpedo en Unified Robot
Description Format (URDF).
III. PROPUESTA
Partiendo de la ecuación de la cinemática directa
P=F([q]) que relaciona la posición del extremo efector P en
función de una serie de valores articulares [q]. Pero si el
valor del extremo efector P ya está dado y se quiere conocer
los valores angulares [q], tales valores se pueden interpretar
como las raíces que anulan a una función de la forma
G=F([q])-P; cuya solución aproximada planteada por el
MNR se obtiene directamente a partir de n iteraciones
partiendo desde un valor articular inicial y cercano a la
solución: [q
0
].
(1)
Lo cual se cumple para el caso de la cinemática directa
para una extremidad del robot cuadrúpedo, considerándola
como una función de ℝ
3
ℝ
3
F(q
0
,q
1
,q
2
)=[X,Y,Z], donde sus
componentes son expresadas por las relaciones articulares:
X=-l
2
cos(q
1
)+l
3
cos(q
1
+q
2
)
Y=l
0
sin(q
0
)-l
1
cos(q
0
)-l
2
sin(q
0
)sin(q
1
)+l
3
sin(q
0
)sin(q
1
+q
2
)
Z=-l
0
cos(q
0
)-l
1
sin(q
0
)+l
2
sin(q
1
)cos(q
0
)-l
3
sin(q
1
+q
2
)cos(q
0
)
Ahora, la derivada de la solución a la cinemática directa
se conoce como Matriz Jacobiana y su inversa viene a ser:
Por lo que, sustituyendo a la jacobiana inversa en la
Ecuación (1) y para una posición de la extremidad deseada
P=[x,y,z], se tiene la siguiente expresión iterativa:
(2)
De este modo, se puede calcular para cada iteración, el
error de la posición para el valor de los tres ángulos
obtenidos
definido de la siguiente forma:
(3)
En la implementación de la Ecuación (2) para resolver la
cinemática inversa del robot es necesario trabajar con un
número de iteraciones n y una distancia permisible definida
como:
(4)
De modo que se garantice la convergencia de la solución
numérica de la cinemática inversa con un error despreciable.
Para el presente trabajo se eligieron los valores de 5
iteraciones y una distancia permisible de 0.6 cm.
Por otro lado, para la trayectoria de cada pata a
considerar, se utilizó como camino cerrado una curva de
Bézier (CB) cerrada con 5 puntos de control como se
muestra en el lado izquierdo de la Fig 3, puesto que estos
puntos permiten modificaciones en la trayectoria de forma
dinámica y en tiempo real. En seguida, se tomaron 100
puntos de muestreo en esta curva para que sean utilizados
como puntos objetivos durante el algoritmo y garanticen una
distancia entre dichos puntos menor a 0.6 cm.
Fig. 3. Curva de Bézier y numeración de las patas del robot
cuadrúpedo.
Mientras que para la coordinación de las patas al
momento de andar, se consideró la enumeración que se
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muestra en el lado derecho de la Fig.3, de modo que las
patas P
1
y P
4
estén coordinadas debido a que siempre
coinciden con el mismo el punto ubicado en sus respectivas
curvas de Bézier al momento de caminar, lo mismo para las
patas P
2
y P
3
. Sin embargo, estas parejas de patas se
diferencian unas de las otras en que al momento de andar se
encuentran desfasadas 50 puntos en la curva de Bézier con
respecto a la otra pareja, lo que permite que mientras una
pareja de patas está alzada, la otra pareja esté en tierra y de
este modo se desplace el robot.
Para desarrollar los movimientos de pitch, roll y yaw que
controlan la orientación de la base del robot, se requiere que
el extremo de las extremidades se mantengan fijas, por lo
que se tomó en cuenta el análisis que muestra la Fig.4. para
aplicar el MNR para este caso.
Fig. 4. Movimiento absoluto y relativo respecto a la base Q
0
de
una pata ante una traslación e inclinación de la base del robot.
El desplazamiento e inclinación de la base del robot
producen un desplazamiento d del punto base Q
0
de la pata
hacia el punto Q
1
y una rotación alrededor del extremo de la
pata en P
0
. Esto mismo pero desde la perspectiva de la base
de la pata es equivalente a un desplazamiento en sentido
contrario del extremo de la pata generando el punto objetivo
P
1
seguido de una rotación expresado por la nueva base β
2
e los ángulos α, β y ϑ para
los movimientos de pitch, roll y yaw respectivamente
presentados en la Tabla I, de modo que el MNR se aplicará
expresando las posiciones relativas al punto base Q
0
en la
nueva base β
2
.
(5)
IV. PRUEBAS Y RESULTADOS
En lo que corresponde a los resultados obtenidos en las
simulaciones; por un lado, la simulación en el módulo de
Matplotlib solo muestra el comportamiento ideal de los
movimientos de las patas del robot cuadrúpedo resultante de
la cinemática inversa con el MNR sin la interacción del
cuerpo del robot con el entorno y la gravedad. Por otro lado,
la simulación en el módulo de PyBullet añade estos factores
faltantes haciendo uso del formato URDF del modelo
robótico, por lo que tiene un comportamiento más realista a
una implementación física del robot.
Para una mejor visualización de los resultados obtenidos
en la simulación en PyBullet, se puede revisar el video en
[9], donde se aprecia el control de orientación de la base del
robot y el desplazamiento del mismo.
Fig. 5. Desplazamiento del robot cuadrúpedo.
En la Fig.5. se muestran los resultados de la simulación
del desplazamiento para el robot cuadrúpedo. Se puede
apreciar que el MNR permite hacer un seguimiento cíclico
para cada extremidad de los 100 puntos de muestreo que se
hicieron en la trayectoria planteada de la CB, permitiendo
de este modo el desplazamiento del robot en el entorno de
simulación física.
Fig. 6. Desarrollo de los movimientos de pitch, roll y yaw para el
robot cuadrúpedo.
Por otro lado, como se observa en la Fig.6, respecto al
control de la orientación de la base del robot cuadrúpedo,
dado que los extremos de las extremidades se mantienen
fijos, se partió de la Ecuación (5) para que este problema sea
admisible para el MNR. De esta forma, los movimientos del
pitch, roll y yaw son realizables como se observa el cuerpo
del cuadrúpedo simulado en el entorno de PyBullet a la
izquierda de cada toma, que al igual que con los resultados
el modelo matemático graficados en la derecha de la toma,
se ve que solo la base del robot es la que se mueve y orienta
manteniéndose los extremos de las patas fijas al suelo.
Ahora, la gráfica presentada en la Fig.7 muestra la
evaluación del error en el MNR dado n iteraciones respecto
a la distancia inicial, la cual no supera los 5 cm, entre el
extremo de la pata y un punto objetivo aleatorio. Se utilizó
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la Ecuación (3), siendo el punto objetivo un vector aleatorio
para una distancia dada. Para la elaboración de esta gráfica,
en todo momento inicial la extremidad se encontraba con
sus valores articulares iniciales de [q
0
] =
Fig. 7. Error de la posición en la n-ésima iteración para distintas
distancias iniciales de partida.
Como se observa en la Fig.7, el módulo de error en cada
caso de las distancias consideradas tiene una convergencia
en la 5ta iteración, donde el valor para cualquiera de los
casos tiende a 0. Sin embargo, para distancias relativamente
pequeñas tales como dentro del rango comprendido entre
0.5 cm y 3.5 cm, el error llega a ser casi nulo a partir de la
3ra iteración; pero la 5ta iteración resulta ser más general en
asegurar la convergencia para el intervalo de distancias de
0.5 cm a 5 cm.
Una forma de corroborar lo anteriormente mencionado,
es mediante la evaluación de la probabilidad para 100 casos
en que el error final resultante del algoritmo después de 5
iteraciones es menor a un error del orden de 10
-b
cm,
tomando b valores enteros de 10 a 16, respecto al valor para
una distancia permisible dada en la Ecuación (4); lo cual se
muestra en la Tabla II.
TABLA II
PROBABILIDAD DE ERROR MENOR AL UMBRAL DADO EN RELACIÓN A LA DISTANCIA
PERMISIBLE EN LA 5° ITERACIÓN
DISTANCIA
PERMISIBLE
(CM)
ERROR (CM)
E-10
E-11
E-12
E-13
E-14
E-15
E-16
0.6
1
1
1
1
1
0.76
0.05
1.7
1
1
1
1
1
066
0.01
2.8
0.99
0.93
0.89
0.9
0.81
0.42
0.01
3.9
0.68
0.43
0.31
0.16
0.1
0.01
0
5
0.13
0.04
0.02
0
0
0
0
De este modo, se llega a que trabajando el MNR con 5
iteraciones y una distancia umbral permisible de 0.6 cm
según los resultados de la Tabla II garantiza una
probabilidad de 0.76 y 0.05 en tener un error menor a 10
-15
cm y 10
-16
cm respectivamente. Por lo que, las distancias
que superen a este valor serían divididas en valores menores
o iguales a este.
Es lógico suponer que cuanto más pequeña sea la
distancia permisible una mayor posibilidad de convergencia
en la 5ta iteración para obtener errores menores a 10
-15
cm y
10
-16
cm. Sin embargo para la construcción de la Tabla II se
decidió partir con el valor de una distancia permisible de 0.6
cm para evaluar si a partir de aquel valor hasta la distancia
de 5 cm las probabilidades de convergencia para errores
relativamente bajos en otras distancias llegaba a ser tan altas
como las probabilidades obtenidas de la distancia permisible
de partida. Sin embargo, como se puede visualizar en la
tabla para las distancias permisibles de 0.6 cm y 1.7 cm, las
probabilidades de convergencia coinciden en ser 100% hasta
para obtener un error menor que 10
-14
cm; a partir de ahí la
distancia permisible de partida mantiene probabilidades
superiores a las de 1.7 cm para errores mucho más bajos.
Ahora, se hizo una comparación del tiempo de
ejecución, error final y número de iteraciones que conlleva
usar el MNR dividiendo una distancia superior a 0.6 cm en
comparación contra el umbral de la distancia permisible
seleccionada y otra sin dicha división. Tales resultados se
muestran en la Tabla III.
TABLA III
COMPARACIÓN DEL TIEMPO DE EJECUCIÓN, ERROR FINAL Y NÚMERO DE ITERACIONES
EMPLEADAS PARA ALCANZAR PUNTOS OBJETIVOS LEJANOS CON Y SIN DIVISIÓN DE
DISTANCIAS
DISTANCIA (CM)
PARÁMETROS
SIN DIVISIÓN
CON DIVISIÓN
3
TIEMPO (S)
0.006979942
0.035902023
ERROR (CM)
2.23152E-15
1.84444E-15
ITERACIONES
5
25
3.89
TIEMPO (S)
0.004986048
0.033908844
ERROR (CM)
1.09143E-10
1.9984E-15
ITERACIONES
5
32
4.33
TIEMPO (S)
0.004985809
0.038897514
ERROR (CM)
9.86773E-09
4.57757E-16
ITERACIONES
5
36
5
TIEMPO (S)
0.005982876
0.055850029
ERROR (CM)
0.026794166
6.28037E-16
ITERACIONES
5
41
Como se observa en la Tabla III, en un principio la
comparación del error obtenido al operar el MNR con una
distancia dividida y otra sin división no es muy
significativo, ocasionando un coste computacional
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innecesario para distancias inferiores o iguales a los 3 cm.
Sin embargo, a medida que la distancia se incrementa se
puede apreciar que el error final obtenido en una distancia
con división previa es significativamente menor al error
obtenido en una sin previa división. Pues como se verifica
en la Tabla II, para una distancia de 5 cm es imposible que
se alcance un error menor a 10
-15
cm, hecho que se supera al
aplicar el MNR para cada segmento de 0.6 cm en una
distancia de 5 cm hasta llegar al punto objetivo, como se
muestra en la Tabla III.
Sin embargo, vale resaltar que a pesar de que el número
de iteraciones y la distancia permisible seleccionadas
permite obtener resultados de los valores angulares con
errores del orden de 10
-15
cm y 10
-16
cm, en la práctica estos
valores de mucha precisión serían inútiles debido a la propia
resolución que los actuadores reales pueden tener.
Abriéndose la posibilidad de elegir otra distancia permisible
o número de iteraciones que generen valores angulares solo
con las cifras significativas correctas admisibles a la
resolución de los actuadores.
V. CONCLUSION
Después de analizar y discutir los resultados obtenidos
en el presente trabajo se llegaron a las siguientes
conclusiones:
- El empleo del MNR permite resolver el problema
cinemático inverso para el modelo del robot
cuadrúpedo en tiempo real. Por ende, se admite
para el desarrollo del control cinemático tanto para
el desplazamiento como para la orientación de la
base del robot cuadrúpedo.
- A partir de la quinta iteración en el MNR se
generan errores de posición los cuales se pueden
considerar despreciables.
- Utilizar como parámetro una distancia máxima de
0.6 cm a partir del cual dividir distancias más
largas entre el extremo de la pata y el punto
objetivo, disminuye significativamente el error de
posición final, pero aumenta las iteraciones y el
tiempo de ejecución.
Finalmente, el MNR permite resolver satisfactoriamente
la cinemática inversa para el modelo del robot cuadrúpedo
planteado, permitiendo su incorporación para realizar
funciones como el desplazamiento y la orientación de la
base. El método puede llegar a presentar errores del orden
de 10
-15
cm y 10
-16
cm, pero que en la implementación se
tendría ajustar el error según la resolución de los actuadores
para evitar iteraciones innecesarias en el MNR.
REFERENCIAS
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robótica”, McGraw-Hill, 2da edición, pp. 134–143, 1997.
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Revista elektron, Vol. 5, No. 1, pp. 77-82 (2021)
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