Enseñanza de Acústica Física con Simulaciones en
k-wave
Teaching of Physical Acoustics with Simulations in k-wave
Jorge Petrosino
#1
, Lucas Landini
#
, Georgina Lizaso
#2
, Ian Kuri
#
, Ianina Canalis
#
#
Departamento de Humanidades y Artes. Universidad Nacional de Lanús
29 de Septiembre 3901, Remedios de Escalada, Buenos Aires, Argentina
1
jorgepetrosino@gmail.com
2
georgina.lizaso@gmail.com
Abstract— Using k-wave toolbox as teaching aid in subjects
related to physical acoustics is proposed. This toolbox enables
simple and efficient simulation of time domain wave
propagation. It is widely used for simulating the behaviour of
ultrasonic waves in biological media. By adding a small
number of instructions it is possible to simulate acoustic field
propagation for two-dimensional conditions, based on a
reference image (BMP file) in which points of different colours
represent specific elements within the simulation. This enables
experimentation of different situation using the k-wave toolbox
with minimal MATLAB/Octave know-how. Any alteration on
the images by simple cut, paste, move or rotate operation
results in new simulation conditions.
Keywords: acoustic teaching; numerical simulations;
pseudospectral method.
Resumen— Se presenta el uso del toolbox k-wave para
apoyar la enseñanza de acústica. Este toolbox permite de modo
simple y eficiente la simulación de propagación de ondas en el
dominio del tiempo. Es ampliamente utilizado para simular el
comportamiento de ondas ultrasónicas en medios biológicos.
Mediante el agregado de un limitado número de instrucciones
es posible simular la propagación de campos acústicos en dos
dimensiones con diversas condiciones de contorno, basadas en
una imagen de referencia (archivo BMP) en el cual puntos de
diferentes colores representan elementos específicos de la
simulación. Esto permite experimentar con diferentes
condiciones utilizando el toolbox k-wave con mínimos
conocimientos de MATLAB/Octave. Cualquier alteración en la
imagen mediante operaciones simples de corte, pegado,
desplazamiento o rotación produce nuevas condiciones de
simulación.
Palabras clave: enseñanza de acústica; simulación numérica;
método pseudoespectral.
I. INTRODUCCIÓN
k-wave es un toolbox de código abierto desarrollado para
MATLAB [1] que permite realizar simulaciones en el
dominio del tiempo sobre la propagación de ondas acústicas
en 1D, 2D y 3D. Tiene una gran funcionalidad dado que
utiliza modelos numéricos avanzados que pueden dar cuenta
tanto de propagación lineal como alineal, con una
distribución arbitraria de parámetros heterogéneos del
material y con distintos modelos de absorción acústica.
Existe una gran cantidad de métodos numéricos para
resolver las ecuaciones diferenciales que gobiernan la
propagación de ondas mecánicas. Este toolbox utiliza el
método pseudoespectral del espacio k [2]. Soluciona las
derivadas espaciales obteniendo series de Fourier mediante
el método de colocación [3] y las combina con un proceso
de propagación temporal expresado en el dominio espacial
de frecuencias (el espacio k). Este método, a diferencia de
los métodos de diferencias finitas o elementos finitos,
requiere el uso de grillas con puntos igualmente espaciados
que representan la zona en la cual se propagarán las ondas.
Al calcular la distribución espacial de ondas
numéricamente mediante FFT (Fast Fourier Transform) se
obtienen soluciones en las que el campo ondulatorio
resultante es periódico. Esto provocaría que una onda que se
propagase hacia la derecha saliendo de la zona de análisis
volviese a aparecer por la izquierda. Para evitar este tipo de
comportamiento el k-wave agrega una pequeña franja
absorbente en la zona de trabajo, sobre el borde externo
(PFM, por Perfectly Matched Layer)
El toolbox k-wave fue desarrollado inicialmente por el
Photoacoustic Imaging Group de la University College
London (UCL). Existen numerosas publicaciones con
reportes de análisis del modelo de simulación y con
aplicaciones a diferentes campos. Ha tenido un desarrollo
particular en la simulación de espejos de inversión temporal
trabajando con ultrasonido para aplicaciones biomédicas [4]
[5]. El código, manual de instalación, publicaciones y otra
información útil se encuentra en www.k-wave.org.
Uno de los modos establecidos en el toolbox para definir
los distintos parámetros que intervendrán en la simulación
(densidad del medio, velocidad de propagación, ubicación
de fuentes y de sensores, entre otros) es mediante matrices
que tienen la misma dimensión que la grilla de base
(llamada kgrid). De esta manera se dispondrá de una grilla
de base que especificará cuestiones generales como el
tamaño del espacio de simulación y su resolución, otra
representará la ubicación de las fuentes, una tercera indicará
la ubicación de los sensores que registrarán variables en
función del tiempo, a lo que podrán agregarse grillas que
especifiquen la densidad del medio en cada punto. La Fig. 1
muestra un esquema de esta estructura de funcionamiento.
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Recibido: 07/12/18; Aceptado: 11/04/19
Fig. 1. Esquema de definición de parámetros y resultados de simulación..
La función kspaceFirstOrder2D() incluida en k-wave
devuelve un arreglo con tantas filas como sensores y tantas
columnas como instantes de tiempo de simulación se hayan
definido.
Podríamos resumir su funcionamiento en sucesivas
etapas. En el primer instante el sistema toma como
referencia las características del medio y las fuentes para
hallar la distribución espacial de ondas compatible con
dichas condiciones. Terminado este proceso grafica la
solución espacial en pantalla y guarda la información de los
puntos especificados en los sensores para ir construyendo
las señales temporales de salida. Luego aplica el proceso de
propagación hallando la distribución de presiones y
velocidades correspondientes al siguiente instante, grafica
este resultado en pantalla y guarda el registro de los
sensores. La función repite este proceso para todos los
instantes hasta completar el tiempo especificado.
Durante el proceso de resolución, el sistema muestra una
animación en pantalla del modo en que se propagan las
ondas a medida que se va aplicando la solución. Al terminar
genera registros temporales de los sensores utilizados.
El toolbox k-wave suele ser utilizado principalmente para
estudios de propagación de ondas mecánicas en medios
heterogéneos en aplicaciones biomédicas, pero su
adaptación para obtener soluciones de ondas mecánicas en
el rango audible que se propagan por el aire resulta sencilla.
La propuesta que se presenta describe el uso de una
función específicamente desarrollada para que estudiantes
con poca o nula experiencia en programación o uso de
MATLAB, puedan simular distintas situaciones acústicas
con k-wave
II. ADAPTACIÓN PARA SU USO EN ENSEÑANZA
La función desarrollada permite al usuario el diseño de la
estructura de simulación trabajando sobre una imagen en
forma gráfica, codificando los distintos elementos a utilizar
mediante colores preestablecidos. Las partes blancas de la
imagen corresponden a un medio homogéneo (aire) en el
que se podrán colocar fuentes de presión sonora (variables
en el tiempo), objetos de reflexión total (obstáculos o
paredes) y sensores que registren presión en función del
tiempo. La Fig. 2 muestra un ejemplo con una fuente de
presión representada por el punto rojo, un obstáculo (negro)
y cuatro sensores (verde), colocados con la intención de
explorar los efectos de la difracción frente a obstáculos.
Fig. 2. Imagen de base para ilustrar el fenómeno de difracción
La función denominada simulaImagen256() lee el
archivo de imagen, construye en base a este archivo las
distintas grillas que requiere el k-wave y desarrolla la
simulación haciendo visible la animación que puede ser
grabada en formato video en forma simultánea. Las
variables de salida de esta función son los registros
temporales de los sensores. Cualquier sector de la imagen
en color gris resulta ignorado por el simulador, lo que
permite incorporar información que puede facilitar la
interpretación del proceso. Los números de sensores de la
Fig. 2 fueron escritos en la imagen de base en color gris, de
manera que aparecen en la simulación pero son
transparentes a efectos de la propagación de ondas.
Fig. 3. Simulación de la disposición de fuentes, sensores y obstáculos
utilizando k-wave con Octave
La Fig. 3 muestra la distribución espacial de frentes de
ondas para t = 317 µs. La Fig. 4 corresponde al registro
temporal de los sensores. Resulta interesante notar que tanto
los sensores 1 y 2, como los sensores 3 y 4 están a distancia
similar de la fuente. La diferencia de nivel detectado entre
cada par de sensores se debe a la existencia del obstáculo en
el camino que los une con la fuente. Puede observarse que
el sensor 2 que se ubica justo detrás del obstáculo registra
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una señal con un nivel significativamente menor que el
sensor 1, mientras que el sensor 3 y el 4 tienen menor
diferencia de nivel entre ellos. Con la longitud de onda
utilizada la sombra acústica provocada a esa distancia tiene
menor impacto.
Fig. 4. Registros temporales de presión sonora en los tres sensores
Con esta herramienta de simulación de gráficos, un
estudiante principiante puede probar distintas
configuraciones simplemente modificando la imagen con
cualquier editor. Al guardar la imagen y ejecutar
simulaImagen256() obtendrá los resultados de la nueva
simulación. En los ejemplos que presentamos aquí hemos
utilizado el Paint de amplia disponibilidad en las
computadoras que utilizan Windows. Por su parte, los
estudiantes intermedios o avanzados podrán modificar el
código de la función simulaImagen256() para incorporar
otras características al medio antes de la simulación.
III. DESCRIPCIÓN DE PROCESOS DE LA FUNCIÓN
SIMULAIMAGEN256()
La función recibe como argumentos el nombre del
archivo de imagen, un factor de escala (lado del cuadrado
mínimo de la grilla en metros), la duración de la simulación
en segundos, un valor lógico para indicar si se desea
registrar la simulación en video, el valor de la velocidad del
sonido a utilizar y la fuente.
Se utilizan imágenes de 256 colores. Los pixeles de la
imagen de color rojo (valor 79) se interpretan como fuentes,
los pixeles de color verde (valor 113) corresponden a
sensores y los pixeles de color negro (valor 0) representan
elementos perfectamente reflectantes.
Es posible utilizar múltiples fuentes y múltiples sensores
simultáneamente sin que esto tenga relación directa con el
tiempo de cómputo.
La variable de entrada "fuente" es una estructura que
contiene varios campos (tipo, amplitud, frecuencia, cantidad
de ciclos, duración). La manera más directa de especificar
el desarrollo temporal de las fuentes consiste en escribir
directamente la ecuación a evaluar utilizando t como la
variable que representa al tiempo. Esto se realiza igualando
el campo "fuente.tipo" a una cadena de caracteres con el
texto de la ecuación a evaluar. La Ec. (1) muestra un
ejemplo para generar una fuente que emita una señal
compuesta por la suma de una sinusoidal de amplitud 3
pascales y frecuencia 2 kHz más una sinusoidal de amplitud
1 pascal y frecuencia 10 kHz.
(1)
Se han implementado además tres tipos de fuentes que
pueden ser especificadas mediante su denominación. Estas
corresponden a un impulso, ruido blanco y una ráfaga de n
ciclos de la frecuencia especificada. Cada una de ellas
requiere parámetros en algún otro campo de la variable
fuente. Una fuente impulso requiere especificar su amplitud
asignando un valor al campo "fuente.amplitud", tal como se
muestra en la Ec. (2)
(2)
Al utilizar 'ruidoBlanco' es necesario especificar una
amplitud y una duración del ruido que debe ser menor a la
duración total de la simulación (en segundos), pensada para
ver lo que sucede al apagar la fuente, tal como se muestra en
la Ec. (3)
(3)
Si se decide utilizar el tipo de fuente 'nCiclos', será
necesario además definir la cantidad de ciclos y la
frecuencia en sendos campos adicionales, tal como muestra
la Ec. (4)
(4)
Todas las fuentes requieren un campo más para su
especificación correspondiente a "fuente.modo", que puede
tener dos valores: 'additive' o 'dirichlet'. Una fuente de
presión de tipo aditiva provocará un incremento de presión
en el punto en que se encuentre por encima del valor que
corresponda al desarrollo de la simulación, mientras que una
fuente tipo 'dirichlet' obligará a que en ese punto exista el
valor de presión especificada. En cierto tipo de
experimentos puede requerirse utilizar una u otra. El
principal hecho a tener en cuenta es que si durante su
propagación una onda se enfrenta a una fuente tipo
'dirichlet' se producirán reflexiones. Se recomienda utilizar
el modo 'additive' para las simulaciones generales de uso
educativo, reservando el modo 'dirichet' para casos
específicos en que se pretenda comprobar las diferencias al
especificar las condiciones de contorno de esta manera.
El toolbox k-wave permite utilizar múltiples fuentes, y
que cada una de ellas tenga una definición temporal
independiente. La adaptación que hemos hecho permite
también múltiples fuentes, pero todas ellas tendrán el mismo
desarrollo temporal por una cuestión de simplicidad de uso.
Esto significa que todas las fuentes emiten en fase.
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Luego de ejecutada la simulación, la función
simulaImagen256() devuelve diversas variables:
- datos_sensor, que es un arreglo con tantas filas como
sensores y tantas columnas como instantes de tiempo en
la simulación,
- t, que es un vector correspondiente a la variable tiempo,
- dt, que es el intervalo mínimo de discretización
temporal,
- lx, que es la longitud en metros en el eje x del espacio
simulado,
- ly, que es la longitud en el eje y del espacio simulado.
Estas variables pueden resultar útiles para graficar o
procesar los resultados obtenidos durante el proceso.
La función simulaImagen256() fue diseñada para operar
con archivos de imagen BMP de 256 colores. Esto se debe a
que se necesita trabajar con imágenes sin compresión y se
pretende utilizar un formato muy sencillo y de amplia
cobertura en diferentes editores. Tanto los procesos de
compresión como los de modificación del tamaño de la
imagen pueden alterar la codificación de los colores, dando
por resultado comportamientos no deseados en la
simulación.
IV. EJEMPLOS DE USO CON ONDAS EN TUBOS
Como ejemplo de la sencillez de uso de la herramienta se
simuló la propagación de ondas en tubos, con diferentes
condiciones de borde. Para ello partimos de una imagen de
base como la que se muestra en la Fig. 5.
Fig. 5. Imagen propuesta como base para las simulaciones de tubos
La fuente es la línea roja ubicada hacia la izquierda de la
Fig. 5. Se agregan dos sensores (verde), uno en el centro y
otro contra el extremo derecho. Las zonas negras
representan paredes perfectamente reflectantes. Los grises
que se observan a los costados sólo están allí para poder
"pintarlos" antes de iniciar la simulación con color negro o
color blanco permitiendo realizar cambios rápidos de
situaciones que representen extremo cerrado, extremo
abierto, extremo abierto con pestaña o tubo de longitud
infinita.
Los grises son ignorados para la simulación por la
función simulaImagen256(), aunque sí aparecen en las
imágenes de fondo de la animación, por lo que es posible
colocar allí números o palabras que faciliten la
interpretación de la animación y los gráficos posteriores.
Como ya se mencionó previamente k-wave tiene en sus
bordes una condición de absorción PML, por lo cual si el
tubo llega a tocar los extremos de la zona definida para la
simulación será interpretado como un tubo de longitud
infinita en esa dirección.
A. Propagación en un Tubo Infinito con Extremo Cerrado
Pintando de modo conveniente las zonas grises de la
imagen de base (blanco para aire, negro para paredes)
pueden generarse las condiciones de un tubo infinito con un
extremo cerrado. La Fig. 6 muestra un instante de la
simulación posterior a la reflexión en el extremo cerrado.
Los colores cálidos representan niveles de compresión y los
fríos de rarefacción (presión sonora positiva y negativa
respectivamente).
Fig. 6. Propagación de ondas en un tubo infinito con extremo cerrado
La Fig. 7 muestra el desarrollo temporal de los dos
sensores. El trazo azul corresponde al sensor 1 colocado en
mitad de la imagen, mientras que el trazo rojo corresponde
al sensor 2 ubicado junto al extremo cerrado.
Puede observarse allí que la onda de presión se refleja sin
inversión en el extremo cerrado. Puede notarse además que
el nivel de presión instantánea en el sensor 2 es mayor ya
que al encontrarse junto al extremo cerrado hay
superposición entre la onda progresiva y la regresiva.
Fig. 7. Diagramas temporales de la fuente y los sensores
B. Propagación en un Tubo Infinito con Extremo Abierto
La Fig. 8 muestra la simulación de un tubo infinito con
extremo abierto en un instante posterior a la reflexión. Allí
puede notarse la diferencia de fase existente en la
propagación de ondas que se observan viajando hacia la
izquierda en el interior y en el exterior del tubo.
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Fig. 8. Propagación de ondas en un tubo infinito con extremo abierto
Fig. 9. Diagramas temporales de la fuente (arriba) y el sensor 1 (abajo)
Observando el registro del sensor 1 puede notarse
claramente que la onda de presión se refleja con inversión
(Fig. 9). Se verifica además que la onda reflejada tiene
menos energía que la incidente (debido a la energía que se
transmite al exterior del tubo por el extremo abierto).
C. Comparación de Resultados por Elementos Finitos
Con el fin de comparar estos resultados con otras
herramientas de uso más frecuente en acústica, se simularon
situaciones similares con tubos mediante el método de
elementos finitos utilizando COMSOL Multiphysics. La Fig.
10 muestra el resultado de simular un tubo infinito con un
extremo cerrado. El trazo azul corresponde a la fuente y el
trazo verde a un sensor separado del extremo. Se observa en
color verde el registro de la onda progresiva y de la
regresiva con el mismo nivel de amplitud.
Fig. 10. Resultados de la simulación por elementos finitos de la reflexión
en un extremo cerrado.
La simulación de un tubo con un extremo abierto
mediante COMSOL puede resolverse de diversas maneras.
La Fig. 11 muestra los resultados cuando se intenta modelar
el extremo abierto imponiendo como condición de contorno
que exista presión cero en el extremo del tubo. En este caso
puede notarse que la onda se refleja con inversión, pero sin
pérdida de energía. Esta es una solución consistente con la
condición de contorno impuesta, pero no representa
adecuadamente la situación física de un extremo abierto. Se
muestra además el resultado superpuesto obtenido mediante
k-wave para el mismo tubo abierto, más adecuada a lo que
sucede físicamente en esa situación.
Fig. 11. Resultados comparados entre k-wave y COMSOL utilizando un
extremo con presión igual a cero como condición de contorno.
La Fig. 12 representa los resultados de agregar una
cámara de aire luego del extremo abierto del tubo. En esta
situación la reflexión se invierte con una caída de nivel por
la energía radiada hacia el exterior del tubo. Distintos
tamaños de cámara de aire producen resultados diferentes,
pero más cercanos a la situación física correspondiente a un
extremo abierto (semejantes a lo obtenido por k-wave).
Fig. 12. Resultados comparados entre k-wave y COMSOL utilizando un
extremo comunicado con una cámara de aire externa al tubo.
V. CÓDIGO DE LOS EJEMPLOS PRESENTADOS
El código necesario para realizar una simulación como
las reportadas más arriba requiere pocas líneas y es
relativamente sencillo. La Fig. 13 muestra el caso de la
simulación de un tubo infinito-abierto.
%Ejemplo simulación tubo infinito-abierto
nombreArchivoImagen='TuboInfAbierto.bmp';
escala=1e-3;
duracion=1.2e-3;
registraVideo=false;
c0=344;
fuente.tipo='nCiclos';
fuente.amplitud=0.5;
fuente.f0=3000;
fuente.n=1;
fuente.modo='additive';
[datos_sensor, t, dt, ecuacion, lx, ly] = ...
simulaImagen256(nombreArchivoImagen, escala, ...
duracion, registraVideo,c0,fuente);
Fig. 13. Código del ejemplo utilizando la función simulaImagen256() para
simular un tubo infinito-abierto.
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Se requiere especificar el nombre del archivo de imagen,
la escala (m), duración (s), una variable lógica que indica si
se desea el registro en video, velocidad del sonido (m/s), las
características de la fuente, agregando finalmente una línea
que llama a la función simulaImagen256(). La estructura es
la misma para cualquier simulación. Las modificaciones
principales corresponden a utilizar otra imagen, o elegir un
tipo de fuente diferente.
Los resultados pueden graficarse de forma libre por parte
del usuario, ya que la función simulaImagen256() entrega
sus resultados como variables de salida que quedan
disponibles en la memoria de trabajo de MATLAB. En la
Fig. 14 se muestra el código necesario para obtener el
gráfico temporal superpuesto de los dos sensores utilizados
en la Fig. 8.
%Gráficos de resultados de la simulación
plot(t,datos_sensor);
xlabel('t [s]')
ylabel('presión [Pa]')
legend('1','2')
Fig. 14. Código para graficar el desarrollo temporal de los sensores
utilizados en la simulación incluyendo leyendas de ejes y referencias.
Cualquier modificación realizada en la imagen respecto
de las condiciones de borde del tubo, o de la ubicación de
fuentes o sensores sirve de información para que la función
simulaImagen256() genere los parámetros necesarios para
una simulación diferente.
VI. CONCLUSIONES
El trabajo propone el uso del toolbox k-wave como un
modo de obtener simulaciones útiles para la enseñanza de
acústica física. Con el fin de simplificar la manera de
trabajar en estas simulaciones hemos incorporado una
función que permite definir la estructura de lo que se desea
simular a partir de construir una imagen. Esto permite que
los estudiantes, al menos en una primera aproximación,
puedan concentrarse en el problema físico que desean
estudiar sin necesidad de ocuparse de los algoritmos de la
simulación.
Se muestran solamente unos pocos ejemplos relacionados
con las reflexiones en distintas condiciones de contorno
para tubos. Sin embargo la herramienta resulta muy versátil
para explorar diversos fenómenos como interferencia,
difracción y difusión.
La comparación con simulaciones realizadas mediante
elementos finitos resultan consistentes, aunque es claro que
para utilizar estos modelos de elementos finitos se requiere
una mayor experiencia que la que podría esperarse de
estudiantes iniciales o intermedios de Acústica Física.
El código de la función simulaImagen256(), junto con
ejemplos de uso y archivos de imágenes para probar los
ejemplos se encuentran disponibles en [6].
AGRADECIMIENTOS
Los autores de este trabajo quieren agradecer
especialmente al equipo conformado por Andrés Bonino
Reta, Damian Andrés Fernández y Nicolás Casais Dassie
por sus aportes durante el proceso.
El presente trabajo surgió como resultado de un proyecto
de investigación actualmente en desarrollo en la
Universidad Nacional de Lanús que requiere utilizar
simulaciones de propagación de ondas en k-wave.
REFERENCIAS
[1] B. E. Treeby, y B. T. Cox, "k-Wave: MATLAB toolbox for the
simulation and reconstruction of photoacoustic wave fields",
Journal of biomedical optics, vol. 15, nº 2, p. 021314, 2010
[2] M. Tabei, T. D. Mast, y R. C. Waag, "A k-space method for coupled
first-order acoustic propagation equations", The Journal of the
Acoustical Society of America, vol. 111, nº 1, pp. 53-63, 2002
[3] J. P. Boyd, Chebyshev and Fourier spectral methods. 2da ed., Nueva
York, EEUU: Courier Corporation, 2001
[4] B. T. Cox, S. Kara, S. R. Arridge, y P. C. Beard, "k-space
propagation models for acoustically heterogeneous media:
Application to biomedical photoacoustics", The Journal of the
Acoustical Society of America, vol. 121, nº 6, pp. 3453-3464, 2007
[5] B. T. Cox, y P. C. Beard, Modeling photoacoustic propagation in
tissue using k-space techniques, 1era. ed., L. V. Wang, Ed. Boca
Ratón, EEUU: CRC Press, 2009
[6] Repositorio correspondiente al usuario GLizaso en www.github.com,
accesible mediante el enlace https://tinyurl.com/y2da8noy.
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