Gradiente de Retardo Temporal y Reflexiones en
Superficies Corrugadas
Time-delay Gradient and Reflections on Corrugated Surfaces
Georgina Lizaso
#1
, Nicolás Casais Dassie
#2
, Damián Andrés Fernández
#3
, Jorge Petrosino
#4
#
Instituto de Producción, Economía y Trabajo. Departamento de Humanidades y Artes. Universidad Nacional de Lanús
29 de septiembre 3901, Remedios de Escalada, Buenos Aires, Argentina
georgina.lizaso@gmail.com
nicolas.casais.dassie@gmail.com
damianandresfernandez@gmail.com
jorgepetrosino@gmail.com
Abstract— Acoustic wave reflections from corrugated
surfaces are analyzed. For this work, a proposal of Yi-Fan Zhu
on a relatively simple model of metasurface is taken as a basis.
Each groove of a corrugated surface can be considered
analogous to a linear array, while the depth of its grooves is
related to the phase of each source. Zhu's original proposal
takes the phase gradient of the arrangement as a design
parameter. In this paper we analyze the advantages of surface
design from the time-delay gradient. It also presents the
possibility of impose brief delays in the whole pattern of
reflections independently of the general design process.
Keywords: dispersionless reflection; acoustic metasurfaces;
reflection control.
Resumen— Se analizan las reflexiones de ondas acústicas
en superficies corrugadas. Para este trabajo se toma como base
una propuesta de Yi-Fan Zhu sobre un modelo relativamente
sencillo de metasuperficie. Cada ranura de una superficie
corrugada puede considerarse análoga a un arreglo lineal de
fuentes, mientras que la profundidad de sus hendiduras se
relaciona con la fase de cada fuente. La propuesta original de
Zhu toma como parámetro de diseño al gradiente de fase del
arreglo. En este trabajo se analizan las ventajas del diseño de
superficies a partir del gradiente de retardos temporales. Se
presenta además la posibilidad de incorporar breves retardos
en todo el patrón de reflexiones de modo independiente al
proceso general de diseño.
Palabras clave: reflexión sin dispersión metasuperficies
acústicas; control de reflexión.
I. INTRODUCCIÓN
En los últimos años se verifica un creciente interés en el
estudio de estructuras artificiales con detalles espaciales
menores a la longitud de onda (subwavelength) que podrían
dar lugar a características de comportamiento difícilmente
alcanzables con materiales convencionales. Estas
estructuras se conocen como metamateriales y la posibilidad
de aplicaciones en acústica se mantiene en crecimiento [1].
Un metamaterial es una estructura artificial obtenida por
agregación de uno o varios materiales con un diseño
particular en relación con su geometría, orientación y
organización interna que da lugar a propiedades que no se
presentan en materiales naturales. Los componentes de los
metamateriales usualmente están organizados en patrones a
escalas menores que la longitud de onda de los fenómenos
sobre los que influyen. Cuando el diseño de un metamaterial
se refiere a un desarrollo en dos dimensiones suele
denominarse metasuperficie.
El presente trabajo analiza un tipo particular de
estructuras que consideramos interesante como puerta de
ingreso al tema de metamateriales acústicos por la potencial
simplicidad que ofrece para relacionar los conceptos
clásicos con las nuevas estructuras. Tomamos como
referencia los trabajos de Zhu y colaboradores [2], [3] en los
que se analizan las condiciones que debe cumplir una
superficie corrugada para lograr control de reflexión sin
dispersión. La propuesta de diseño de Zhu toma como punto
de partida el gradiente de fase deseado, lo que obliga a
presuponer una frecuencia de referencia para el cálculo aun
cuando el resultado del diseño resulte independiente de la
frecuencia dentro del rango de validez, sin embargo es
posible obtener ecuaciones más sencillas de aplicar si se
considera el gradiente deseado de retardos temporales en
lugar del gradiente de fase.
Se presentan simulaciones utilizando Comsol
Multiphysics y el método pseudoespectral del espacio k [4],
[5] con base en las características reportadas por Zhu, su
ajuste con los presupuestos teóricos que sustentan su
comportamiento así como los criterios de diseño que
podrían aplicarse para obtener metamateriales con un
comportamiento de reflexión deseado.
A. Frentes de onda emitidos por un arreglo lineal
Zhu propone partir de la conocida teoría que describe el
comportamiento de un arreglo lineal de n elementos
separados por una distancia Δx. Un arreglo con n fuentes en
fase emitirán un frente de ondas que resultará cilíndrico para
frecuencias dentro de determinada banda. La dirección de
propagación será perpendicular al arreglo (esto es, un
ángulo de emisión igual a 0º). La frecuencia inferior de la
banda estará relacionada con la longitud total del arreglo
Recibido: 07/12/18; Aceptado: 06/03/19
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L=n.Δx y la frecuencia superior con la distancia Δx entre
fuentes.
Una diferencia de fase constante entre fuentes adyacentes
dará lugar a un frente de ondas con un ángulo de emisión θ,
que depende de la diferencia de recorrido (Δr), y de la
distancia entre fuentes (Δx) como se muestra en la Fig. 1.
(1)
Fig. 1. Un arreglo lineal con diferencia de fase constante entre fuentes
emitirá un frente de ondas con un ángulo θ.
Para que los puntos A’ y B de la Fig. 1 estén en fase, es
necesario que la fase del elemento A esté adelantada
respecto de B por un valor Δɸ que cumpla con la relación
(2)
Combinando (1) y (2) se obtiene
(3)
Para el caso de considerar un arreglo continuo de fuentes
Δɸ /Δx se transforma en dɸ /dx que es el gradiente de fase
del arreglo. La Fig. 2 muestra la propagación del frente de
ondas emitido por un arreglo lineal de 12 elementos con
gradiente de fase distinto de cero.
Fig. 2. Frente de onda emitido por un arreglo con gradiente de fase.
La Ec. (3) permite analizar las condiciones necesarias
para que el ángulo de emisión θ sea no dispersivo (esto es,
que resulte independiente de la frecuencia). El argumento
del arco seno depende en forma explícita de la longitud de
onda, de modo que para que θ sea no dispersivo es necesario
que el gradiente de fase dɸ/dx sea inversamente
proporcional a λ.
B. Frentes de onda reflejados por un material corrugado
La Fig. 3 muestra una superficie corrugada formada por
un conjunto de hendiduras rectangulares de diferentes
profundidades.
Fig. 3. Superficie corrugada. (a) esquema de la sección, (b) fotografía
mostrando la metasuperficie del artículo citado (Zhu, 2015).
Una onda plana que incida en la dirección del eje y
(indicado en la Fig. 3b) enfrentará cada extremo abierto de
las hendiduras en fase, recorrerá su longitud y regresará
para ser emitido por el extremo abierto con su fase
cambiada.
El cambio provocado en la fase se debe a una diferencia
de recorrido, lo que dará lugar a un gradiente de fase
proporcional a f (inversamente proporcional a λ),
cumpliendo la condición indicada por Zhu para asegurar
reflexión sin dispersión.
La frecuencia inferior del rango estará relacionada con la
longitud total del arreglo (en la dirección x de la Fig. 3b) y
su frecuencia superior con la separación entre ranuras (Δx).
Dada una ranura de profundidad Δh, el tiempo necesario
para recorrerla con velocidad de propagación c será
(4)
Pero además Δt /T = f.Δt = Δɸ / 2π, por lo tanto
(5)
Reemplazando la ecuación (5) en la Ec. (3), se cancela el
factor λ/2π
(6)
La Ec. (6) relaciona el gradiente de profundidad de las
hendiduras Δh/Δx con el ángulo de reflexión sin dispersión.
Por su parte Δh/Δx será la tangente del ángulo de
inclinación del plano interno de las hendiduras. Un plano
tangente a sus extremos internos inclinado un ángulo α
provocará un ángulo de emisión
(7)
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La Fig. 4 muestra el frente de ondas generado cuando en
la Ec. (7) se utiliza α = 25.2º.
Fig. 4. Reflexión de un frente de onda por la superficie corrugada con
ángulo de perfil interno es de 25,2º.
Si se reemplaza la superficie corrugada por un plano con
inclinación α, el ángulo de emisión será θ = 2α. Para
ángulos pequeños la emisión del frente corrugado resulta
semejante al generado por la reflexión ante un plano
inclinado, pero cambia para ángulos mayores. En la Fig. 5,
se muestra la propagación del frente de ondas de una
superficie plana con inclinación α=25.2º.
Fig. 5. Reflexión de un frente de onda por la superficie plana con ángulo
de inclinación de 25,2º.
II. DISEÑO DE PERFILES A PARTIR DEL GRADIENTE DE FASE
Con las ecuaciones anteriores es posible diseñar un perfil
que genere reflexiones no dispersivas con un ángulo θ
deseado. En los planteos anteriores se ha supuesto que el
gradiente Δh/Δx es constante, por tratarse del caso más
sencillo.
En forma general, la condición de no dispersión podría
establecerse reescribiendo la Ec. (5) para un caso general en
el cual el perfil de hendiduras Δh pueda ser dependiente de
x.
(8)
Generalizando para el caso de un arreglo lineal continuo
puede escribirse
(9)
Reorganizando los términos de la ecuación e integrando,
se obtiene la Ec. 10, que permite diseñar un perfil h(x) a
partir de un gradiente de fases deseado.
(10)
La ecuación (10) expresa en líneas generales la
propuesta de Zhu para obtener perfiles complejos. El
proceso requiere tomar una frecuencia f0 como referencia
para determinar en ese caso el perfil de fases y el valor de λ,
aun cuando posteriormente el perfil obtenido resulte no
dispersivo.
III. DISEÑO DE PERFILES A PARTIR DEL GRADIENTE DE
RETARDOS TEMPORALES
Existe una alternativa que no requiere tomar como
referencia una frecuencia de base para el diseño. Consiste
en relacionar el gradiente de profundidad necesario dh/dx
con el gradiente de retardos temporales deseado dτ/dx.
(11)
(12)
Reemplazando el gradiente de fase de la ecuación (12) en
la ecuación (10) se obtiene
(13)
La Ec. (13) permite obtener el perfil de profundidad de
hendiduras a partir de la función deseada de retardos en
cada elemento del arreglo τ(x), sin necesidad de suponer
una frecuencia de referencia como en la propuesta original
de Zhu. La constante de integración C puede tener cualquier
valor arbitrario. En la práctica esto se corresponde con un
desplazamiento paralelo al plano horizontal de todo el perfil
h(x) y resulta en un retardo temporal constante para todos
los elementos del arreglo. Variando esta constante de
integración C puede conseguirse una reflexión con un
retardo respecto del momento en que el frente de onda
impacta en la superficie. Este retardo puede controlarse en
forma independiente del ángulo de reflexión elegido
previamente.
h x( )
c
2
x
d
dx
d
=
c
2
x( ) C
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A. Ejemplo de diseño de reflexión plana
Con el fin de ejemplificar la aplicación de la Ec. (13), se
proponen los siguientes pasos de diseño del perfil para
lograr un ángulo de reflexión θ = 30º. En este caso la
diferencia de recorrido entre elementos extremos del arreglo
que será D = L.sen(30º)
Fig. 6. Perfil del reflector. L es longitud total y D diferencia de recorrido.
Considerando una variable continua x cuyo origen
coincida con la primera ranura, a medida que x crece debe
incrementarse el retardo de cada reflexión para lograr emitir
un frente de ondas con el ángulo indicado en la Fig. 6. Para
x = L (longitud total del arreglo) el retardo necesario es D/c.
El retardo temporal en función de x resulta
(14)
El perfil h(x) determinado por la ecuación (13) es
(15)
Para distintos valores de la constante de integración C se
obtienen diferentes retardos manteniendo el mismo ángulo
de reflexión. La Fig. 7 muestra el frente de ondas reflejado
luego de 2.6 ms del inicio de la simulación utilizando C=0.
Al comparar con la simulación que utiliza C=0.16 m (Fig. 8)
para el mismo tiempo transcurrido puede notarse que la
reflexión se emite con un retardo temporal.
Fig. 8. Reflexión del perfil h(x) para constante de integración C=0.16 m
incorporando un retardo cercano a un milisegundo en la reflexión.
B. Ejemplo de diseño de reflexión compleja
A partir de la Ec. (13) es posible diseñar un perfil h(x)
conociendo los retardos temporales necesarios para cada
elemento del arreglo.
Para diseñar un reflector sin dispersión que concentre un
frente de onda plana en un punto determinado se requiere
calcular la función de retardos temporales τ(x) necesaria a
partir de las distancias entre el foco y cada ranura (Fig. 9)
Fig. 9. Distancias entre el foco y cada elemento.
Si el foco se encuentra en [x0,y0] la función τ(x) será
(16)
A partir de esta expresión es posible obtener
(17)
h x( )
1
2
x x0( )
2
y0
2
C
Fig. 7. Reflexión del perfil h(x) para constante de integración C=0.
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Un perfil que responda a la ecuación (17) provocará que
una onda plana incidente en forma perpendicular al plano se
refleje concentrándose en el punto elegido como foco. La
Fig. 10 muestra un instante de la simulación realizada. Es
importante notar que si bien el efecto resultante es
semejante al que produciría un perfil parabólico el
fenómeno involucrado es diferente. La función que define el
perfil con hendiduras no es una función proporcional a x al
cuadrado sino a la raíz cuadrada de x al cuadrado.
Fig. 10. Simulación de ondas concentrándose en el foco [0 ; 0.2 m].
IV. CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO
La propuesta de Zhu y colaboradores permite diseñar
perfiles corrugados para lograr reflexión sin dispersión de
modo controlado dentro de un rango de frecuencias a partir
de conocer su gradiente de fase. Nuestra propuesta de
reemplazar el gradiente de fase por un gradiente de retardos
temporales evita la elección de una frecuencia de referencia
arbitraria para el diseño. Por otra parte, permite también que
los retardos temporales en cada elemento del arreglo puedan
ser determinados mediante cálculo, medición o incluso por
simulación, ubicando una fuente en el lugar en el que se
desea obtener una concentración de las reflexiones y
colocando sensores en el extremo abierto de las hendiduras.
Los registros de los sensores resultan ser un muestreo
espacial de τ(x).
Hemos realizado algunas pruebas preliminares para
analizar la posibilidad de obtener dos reflexiones de ondas
planas o incluso dos puntos focales en forma simultánea con
un solo perfil. Sin embargo, es necesario un trabajo más
cuidadoso antes de poder presentar estos resultados.
Por otra parte, estamos realizando los modelos físicos de
los perfiles mediante impresión 3D con la colaboración de
docentes y estudiantes de la Licenciatura en Diseño
Industrial de la Universidad Nacional de Lanús con el fin de
complementar el presente trabajo con mediciones
experimentales (Fig.11, Fig. 12)
Fig. 11. Impresión 3D de perfiles corrugados.
Fig. 12. Impresión 3D del perfil simulado en la Fig. 10.
AGRADECIMIENTOS
Agradecemos la buena voluntad y el empeño puesto por
parte de Andrés Ruscitti, Guillermo Andrade y los
estudiantes Lucas Bujan y Sabrina Accotto que están
encargándose de modelar e imprimir las primeras pruebas
de perfiles dentados planos y circulares para las futuras
mediciones.
El presente trabajo es parte de un proyecto de
investigación sobre propagación de ondas acústicas que
estamos desarrollando en la Universidad Nacional de Lanús
conjuntamente con Andrés Bonino Reta, Ianina Canalis, Ian
Kuri y Lucas Landini.
REFERENCIAS
[1] G. Ma, y P. Sheng, "Acoustic metamaterials: From local resonances
to broad horizons." Science advances, 2(2), e1501595, 2016
[2] Y. F. Zhu, X. Y. Zou, R. Q. Li, X. Jiang, J. Tu, B. Liang y J. C.
Cheng, "Dispersionless manipulation of reflected acoustic wavefront
by subwavelength corrugated surface", Scientific reports, 5, 10966,
2015
[3] Y. F. Zhu, X. Y. Zou, B. Liangy J. Cheng, "Acoustic one-way open
tunnel by using metasurface", Applied Physics Letters, 107(11),
113501, 2015
[4] M. Tabei, T. D. Mast y R. C. Waag, "A k-space method for coupled
first-order acoustic propagation equations", The Journal of the
Acoustical Society of America, 111(1), pg. 53-63, 2002
[5] B. E. Treeby, y B. T. Cox, "k-Wave: MATLAB toolbox for the
simulation and reconstruction of photoacoustic wave fields", Journal
of biomedical optics, 15(2), 021314, 2010
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