Deformaciones de Segundo Orden en la
Transmisión de Haces y Pulsos Gaussianos a
Través de una Capa Isótropa
Second Order Deformations for Gaussian Beams and Pulses transmitted through
Isotropic Layers
Eduardo O. Acosta
#1
, Natalia C. Álvarez
*2
, María T. Garea
#3
, Liliana I. Perez
#**3
, Patricio A. Sorichetti
#5
#
Grupo de Láser, Óptica de Materiales y Aplicaciones Electromagnéticas, Departamento de Física, Facultad de
Ing
eniería, Universidad de Buenos Aires
Av. Paseo Colón 850 – (C1063ACV) CABA – Argentina
1
eacosta@fi.uba.ar
3
mgarea@fi.uba.ar
5
psorich@fi.uba.ar
*
Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET)- (C1425FQB) CABA- Argentina
2
nalvare@fi.uba.ar
**
Universidad de Buenos Aires. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Instituto de Tecnologías y
Ciencias de la Ingeniería "Hilario Fernández Long". Facultad de Ingeniería.
Av. Paseo Colón 850 – (C1063ACV) CABA – Argentina
4
lperez@fi.uba.ar
Abstract— Monochromatic plane waves allow the
description of many of the properties of propagating, reflected
and transmitted radiation through media of different optical
properties. However, some of their characteristics only appear
when considering limited beams. In this work we determine
and analyse (to the second order) some characteristics of the
transmission of beams (spatially limited) or pulses (limited in
time), in both cases with Gaussian distribution. It is assumed
that the transmission takes place through an isotropic plane-
parallel plate. If the beam is limited in space, we consider that
the mean direction of the wave is perpendicular to the plate.
On the other hand, when the beam is limited in time, we
consider that all the plane waves impinge normally to the
plate. We compare the non-geometric effects for both kinds of
limited beams, for the cases where the plate is transparent,
absorbing or with linear gain.
Keywords: Gaussian beams; Gaussian pulses; Transmission;
Isotropic layers.
Resumen— Las ondas planas monocromáticas permiten
describir adecuadamente muchas de las propiedades de la
radiación propagada, reflejada y transmitida a través de
medios de distintas propiedades ópticas,
Sin embargo, algunas características solo aparecen
considerando haces y/o pulsos limitados. En este trabajo
determinamos y analizamos algunas características de
transmisión de haces (limitados en el espacio) o pulsos
(limitados en el tiempo) con distribución gaussiana. Se supone
que la transmisión se realiza a través de una placa plano-
paralela de material isótropo lineal y se realiza una
aproximación a segundo orden. En el caso de un haz limitado
en el espacio, consideramos que la dirección de onda media es
perpendicular a la placa. Si está limitado en el tiempo,
consideramos que la incidencia de todas las ondas es normal a
la placa. Comparamos los efectos no geométricos para ambos
tipos de limitación para los casos en que la placa es absorbente,
transparente o con ganancia en condiciones de linealidad.
Palabras clave: Haces Gaussianos; Pulsos Gaussianos;
Transmisividad.
I. INTRODUCCIÓN
La
propagación, reflexión y transmisión de haces
limitados (en el espacio o en el tiempo) con distribución
gaussiana han sido muy estudiados por sus aplicaciones en
la tecnología electromagnética en los rangos de microondas,
submilimétrico y óptico. Como ejemplos, cabe mencionar la
descripción del modo fundamental en resonadores y
cavidades láser. Una particularidad importante es que se
pueden alcanzar expresiones analíticas de las amplitudes y
fases de los campos reflejado y transmitido en una
aproximación a segundo orden. Esto permite un sustancial
ahorro de tiempo y recursos de computación en
comparación con las metodologías numéricas,
particularmente en la optimización de dispositivos. Además,
dada la simetría alrededor del ángulo medio de incidencia
(si el haz está limitado en el espacio) o de la frecuencia
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Recibido: 13/11/17; Aceptado: 14/02/18
media (si está limitado en el tiempo) es posible una
interpretación sencilla de su comportamiento.
En el caso de la transmisión de haces limitados en el
espacio a través de una o varias interfaces pueden evaluarse
efectos no geométricos (ENGs) de primer y segundo orden
longitudinales y transversales que corresponden al
desplazamiento lateral (efecto Goos-Hänchen), corrimiento
angular, cambio de ancho y corrimiento del punto de
focalización del haz. Dependiendo de las características del
haz limitado y de los medios involucrados, algunos o todos
los ENGs pueden estar presentes simultáneamente. Estos
efectos fueron determinados por T. Tamir [1] y otros
autores [2-6] para la reflexión de haces gaussianos limitados
en el espacio en interfaces formadas por medios isótropos
lineales (incluyendo multicapas), y luego fueron extendidos
a la reflexión y transmisión en interfaces anisótropas [7-8]
(“Método de Tamir generalizado”). En el caso de
multicapas, la complejidad de los coeficientes de reflexión y
transmisión dificulta (aunque no impide) la obtención de
expresiones analíticas donde queden claramente
determinados los cuatro ENGs a segundo orden. En cambio,
las deformaciones que presentan los pulsos en la reflexión y
transmisión no han sido estudiadas en profundidad aunque
el desarrollo matemático es menos complejo. Según nuestro
conocimiento, pese a su interés para Ensayos No
Destructivos (ENDs) los estudios se limitan exclusivamente
a deformaciones en la propagación a través de distintos
tipos de materiales [9, 10].
En un trabajo anterior [11] determinamos los campos,
correspondientes a haces gaussianos limitados en el espacio
o en el tiempo, transmitidos a través de una capa isótropa
activa inmersa en un medio isótropo transparente haciendo
una aproximación a segundo orden. Si bien los medios
activos son intrínsecamente no-lineales y anisótropos, la
complejidad de su tratamiento lleva a usar aproximaciones
de linealidad e isotropía. La primera es aceptable cuando la
amplitud del campo dentro del material es pequeña (i.e. la
ganancia es pequeña y no llega a la saturación). La segunda
es válida cuando el campo está polarizado en uno de los
modos propios. En el trabajo mencionado mostramos que la
aproximación del coeficiente de transmisión es válida en
muchas situaciones de interés experimental o tecnológico,
teniendo en cuenta las variaciones de dicho coeficiente en el
rango de trabajo.
En este trabajo aplicamos la misma metodología a haces
y pulsos que se transmiten a través de capas de materiales
isótropos lineales, sin limitarnos a los medios con ganancia.
De esta manera mostramos que, cuando el desarrollo a
segundo orden es aplicable, efectos análogos a los que
aparecen para haces limitados en el espacio pueden
encontrarse para pulsos limitados en el tiempo. Hacemos
entonces una interpretación de cada uno de estos efectos
considerando capas transparentes, absorbentes o activas
inmersas en un medio transparente.
II. HACES Y PULSOS: SUPERPOSICIÓN E
INTERFERENCIA
El haz bidimensional más simple (limitado en el espacio)
consiste en la superposición de dos ondas planas con la
misma frecuencia y amplitud pero distinta dirección de
propagación, denominado “haz de Artmann” [12]. El
resultado de esta superposición es un patrón de interferencia
como la mostrada en la Fig. 1(a). Si hacemos una
superposición de dos haces de Artmann tal que las normales
al frente de onda estén en el mismo plano y compartan la
misma normal media, obtendremos otra figura de
interferencia tal que los máximos se van haciendo menos
frecuentes como se muestra en las Figs. 1(b) 1(c). Como
puede verse, uno de los máximos de interferencia no se
desplaza a medida que se van superponiendo más haces de
Artmann. Considerando que el medio es isótropo, lineal y
homogéneo, los planos de interferencia constructiva son
(a)
(b)
(c)
Fig. 1:
Resultado de la interferencia de dos ondas planas (a) Superposición
de dos b) de cuatro, c) de seis ondas monocromáticas con distintas
direcciones de propagación para obtener haces limitados en el
espacio. Las
líneas celestes gruesas indican los planos de interferencia constructiva
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paralelos a la dirección de onda media en el primer caso
(Fig. 1a). Esos máximos inalterados determinarán la
dirección de propagación de la energía y el lugar de
concentración de la misma. Esta es la base de la formación
de haces limitados simétricos que se propagan en medios
isótropos dieléctricos a través de la integral de Fourier, y ese
máximo de interferencia tan especial dará la dirección del
rayo asociado, es decir, la dirección de propagación de la
energía del haz. Si las amplitudes de las ondas planas tienen
una modulación gaussiana, el resultado será un haz
gaussiano monocromático espacialmente limitado.
Análogamente, el pulso bidimensional (con simetría)
más simple (limitado en el tiempo) consiste en la
superposición de dos ondas planas con la misma amplitud y
dirección de propagación pero distinta frecuencia. En este
caso también se obtiene un patrón de interferencia. En la
Fig. 2 se muestra el resultado de la superposición de tres y
cinco ondas planas con la misma dirección de propagación
pero distinta frecuencia de oscilación. Como se ve en la
figura mencionada hay un máximo, perpendicular a la
dirección de propagación, que no se altera al superponer
otras ondas con otras frecuencias. Si las amplitudes de las
ondas planas de distintas frecuencias tienen una distribución
gaussiana, el resultado será un haz gaussiano temporalmente
limitado.
III. TRANSMISIÓN A TRAVÉS DE UNA CAPA
DIELÉCTRICA
A partir de los campos asociados a cada tipo de
limitación, es posible determinar analíticamente el campo
transmitido a través de una capa plano-paralela de espesor d
e índice de refracción ñ inmersa en un medio de índice n
(Fig. 3). Como hemos demostrado en un trabajo anterior
[11], una aproximación que ha resultado muy adecuada en
muchas condiciones experimentales es la que proviene del
“Método de Tamir generalizado”.
Cuando el haz incidente monocromático (de frecuencia
0
ω
y longitud de onda en el vacío
v
λ
) posee una
distribución espacial gaussiana (de semiancho
z
σ
), el
campo eléctrico transmitido producto de la superposición de
infinitas ondas planas (Fig.3) resulta
( )
( )
( )
( )
2 2
0
0
4
E
2
z z
x z
k
i k x d k z t
'
z
x x z
E
x,z,t T k ,k ,d e e dk
σ
ω
σ
π
∞
−
− + −
−∞
=
∫
(1)
donde
0
E es la amplitud del campo eléctrico incidente
correspondiente a la onda media, las componentes de los
vectores número de onda cumplen la relación
( )
2
2 2
2
x z v
k k n
π λ
+ =
,
( )
2
2 2
2
x z v
k k´ ñ
π λ
+ =
y
( )
( ) ( )
'
'
'
'
2 2
2
' '
4
, ,
x
x
i k d
x x
x x
ik
x x x x
k k e
T k k d
k k e k k
=
+ − −
es el coeficiente de transmisión a través de la capa para cada
una de las ondas. Aplicando el método de Tamir [1] para
resolver analíticamente la Ec.(1) y escribiendo las
expresiones en función de los índices de refracción de los
medios
n
y
ñ
, se obtiene
( )
( )
( ) ( )
2
0
2
0
2 2
2
4
E , , e
v v
zm
v
z
i k n x d k ñd t
z
i k ñd
zm
nñe
x z t E
n ñ e n ñ
ω
σ
σ
σ
− + −
−
=
+ − −
(2)
donde
v
k representa el valor del vector número de onda en
el vacío.
Fig. 2: Resultado de la interferencia de (a) tres y (b) cinco ondas de
distintas frecuencias con la misma dirección de propagación para obtener
haces limitados en el tiempo. Las líneas punteadas indican de los planos de
interferencia constructiva. Los números indican el orden de interferencia
constructiva.
En la Ec.(2),
zm
σ
representa al semiancho modificado al
atravesar la placa y está relacionado con el semiancho
original
z
σ
y con las características de la placa por [11]:
2 2
2
zm z
v
i F
k n
σ σ
= −
(3)
donde
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
2
2
2
2 2
2 2
2
2
1
1
v
v
v
v
i k ñd
i k ñd
i k ñd
i k ñd
v
n ñ e n ñ
n
F d x
ñ
n ñ e n ñ
n ñ e
i
k nñ n ñ e n ñ
+ + −
= − − +
+ − −
− −
+
+ − −
(4)
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se denomina corrimiento focal. Es de hacer notar que el
corrimiento focal es complejo aunque todos los medios sean
dieléctricos transparentes.
Fig. 3: Haces gaussianos incidente y transmitido a través de una lámina
plano-paralela de material isótropo de índice de refracción ñ inmersa en un
medio de índice n.
De la Ec.(2) se nota claramente que el haz no sufre
desplazamiento lateral ni corrimiento angular al
transmitirse, independientemente de las características de
los medios. Este resultado surge de la simetría del
coeficiente de transmisión alrededor del ángulo medio de
incidencia (incidencia normal) y de la isotropía de los
medios (coincidencia entre la dirección media de
propagación de la energía y la del vector número de onda).
En la Fig. 4 se grafican las amplitudes relativas de los
campos transmitidos a la del campo incidente después de
atravesar una placa delgada (de 100
v
λ
de espesor) para
distintos tipos de materiales. Hemos elegido la
configuración de la figura para que en el caso de la capa
transparente la onda media se transmita totalmente, i.e. la
amplitud sea unitaria en z=0 y x=d. Esto se logra eligiendo
como espesor un número entero de longitudes de onda (para
incidencia normal la reflectividad resulta nula) [14]. Cuando
el medio es absorbente, parte de la energía luminosa se
transforma en calor, mientras que si el medio tiene
ganancia, las múltiples reflexiones incrementan el campo
transmitido. Como puede observarse, el máximo se
encuentra en z=0. Es decir, no hay ENGs de primer orden.
En cambio, las diferencias en la amplitud y en la fase de
las distintas ondas planas que componen el haz transmitido
llevan a ENGs de segundo orden (cambios del ancho y del
punto de focalización del haz).
Estos efectos provienen, fundamentalmente, de la
derivada segunda del coeficiente de transmisión de la placa
respecto del ángulo de incidencia. El significado del
semiancho complejo
zm
σ
queda claramente establecido
cuando la parte real de F es de valor despreciable frente a la
imaginaria.
Fig. 4: Campo normalizado a la salida de la placa (x=d) para
σ
z
=100
λ
v
,
d=100
λ
v
, n=1 y ñ= 1,33 +i0,001 ; 1,33 y 1,33-i0,001 en
función de la coordenada transversal
v
z
λ
.(en unidades de longitudes de
onda)
En ese caso, la parte imaginaria de F está asociada a un
cambio en el ancho del haz y la real a un cambio en el punto
de focalización del haz [1]. En otros casos, el ancho
modificado involucra tanto a la parte real como a la
imaginaria del corrimiento focal. Por otra parte, calculando
el flujo del vector de Poynting de la Ec.(1) es fácil deducir
que el semiancho efectivo está dado por
( ) ( )
( )
(
)
2 2
1/2
2
Re Im
Re
zm zm
z ef
zm
σ σ
σ
σ
+
=
(5)
Fig. 5: Variación relativa del semiancho del haz gaussiano transmitido al
propagarse en función de la distancia recorrida
x
para
σ
z
=100
λ
v
, d=100
λ
v
,
n=1 y ñ= 1,33; 1,33+i0,001 y 1,33-i0,001
En la Fig. 5 se muestra la variación
zef
σ
a medida que se
propaga el haz después de atravesar la capa, no
observándose diferencias significativas cuando la capa es
transparente, activa o absorbente (dentro de los valores
posibles que pueden tomar los índices de refracción). Las
diferencias para los distintos tipos de medios considerados
resultan menores a la milésima de longitud de onda.
En la Ref.[1] para determinar el valor del semiancho
modificado
T
σ
se considera solo la parte imaginaria del
corrimiento focal
F
. Si se intentara extender este análisis
para una placa como la considerada en este trabajo, el valor
de
T
σ
no diferiría de
z
σ
a una distancia de 10000
v
λ
de la
0
5x10
5
0
10
20
σ
zef
/
σ
z
x/
λ
v
-200 -100 0 100 200
1
2
v
z
λ
2
ef
σ
2
σ
z
d
x
n
n
ñ
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placa (esta distancia corresponde aproximadamente a 5 cm).
Si se tiene en cuenta también la parte real del corrimiento
focal el valor del semiancho
σ
zef
a esa distancia resulta
3,3
σ
z
para los tres tipos de materiales. Es decir, no
considerar la parte real llevaría a un error del 70% (Fig.(6)).
Fig. 6: Variación relativa en el cálculo del semiancho del haz gaussiano
transmitido al propagarse en función de la distancia recorrida
x
para
σ
z
=100
λ
v
, d=100
λ
v
, considerando solo la parte imaginaria del corrimiento
focal (
T
σ
) y su valor complejo (
zef
σ
). La línea punteada corresponde a
10000
v
x
λ
= .
Efectos análogos a los encontrados en haces limitados en
el espacio se encuentran cuando consideramos la incidencia
de haces limitados en el tiempo. Considerando que el haz
incidente tiene un semiancho
ω
σ
, la frecuencia media está
dada por
0
ω
y que los cambios de los índices de refracción
con la frecuencia son despreciables, el campo eléctrico a la
salida de la placa se puede obtener a partir de [11]
( ) ( )
( )
( )
2
0
2
2
0
E
2
n
i x d t
c
E
x,t T ,d e e d
ω
ω ω
ω
σ
ω
ω ω
πσ
−
−
∞
− −
−∞
=
∫
(6)
donde
c
es la velocidad de luz en el vacío y el coeficiente
de transmisión vale
( )
( ) ( )
2
2 2
4
,
ñ
i d
c
ñ
i d
c
nñ e
T d
n ñ e n ñ
ω
ω
ω
=
+ − −
Realizando un procedimiento análogo al utilizado para
haces limitados en el espacio, el campo transmitido resulta
( )
( )
( )
( )
0
2
2
0 0
E , exp
2
n
i x d t
m m
c
x t E T e t
ω
ω ω
ω
σ σ
ω τ
σ
− −
= − −
(7)
donde
τ
representa el corrimiento temporal complejo, cuya
expresión es
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
2 /
2 2
2 2
2 /
i dñ c
i dñ c
n ñ n ñ e
n d
x ñ n
c c
n ñ n ñ e
ω
ω
τ
+ − −
= + −
+ − −
` (8)
y el semiancho modificado complejo resulta
( )
( ) ( )
0
0
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2
1 4
m
i ñd / c
i ñd / c
n ñ e
d
ñ
c
n ñ e n ñ
ω
ω
ω
ω
ω
σ
σ
σ
=
−
+
+ − −
(9)
Se puede deducir a partir de la Ec.(7) que los efectos de
primer orden están dados por la derivada primera del
coeficiente de transmisión, que en este caso corresponde a
un corrimiento en la frecuencia media y a un corrimiento
temporal reales. Los efectos de segundo orden se traducen
en un cambio en el semiancho y una modificación de la
portadora reales. De la complejidad de las Ecs.(8)-(9) surge
claramente que no corresponden directamente a las partes
reales e imaginarias del corrimiento temporal y del
semiancho complejos. Sin embargo, ambos están asociados
a la asimetría del coeficiente de transmisión (en módulo y
en fase) alrededor de la frecuencia media
0
ω
.
En la Fig.7 se muestra el haz transmitido para tres capas
plano paralelas (donde el medio es absorbente, transparente
o activo) en función del tiempo considerando que t=0
corresponde al momento en que el haz incidente incide
sobre la placa. El cálculo con ñ=1 representa el perfil
temporal del pulso a una distancia d del origen si no
hubiera placa. En ella se observa que los retrasos son
dependientes del tipo de material. En este ejemplo, el
retraso es máximo para el medio con ganancia y mínimo
para el medio con pérdidas.
Figura 7: Campo transmitido relativo al campo incidente a la salida de la
placa en función del tiempo para n=1 y ñ=1 , ñ= 1,33 +i0,001 ;
ñ= 1,33 y ñ= 1,33-i0,001 .
0
500
ω
ω σ
=
y
0
200d
π ω
=
III. CONCLUSIONES
Encontramos que un haz (limitado en el espacio) que
incide normalmente sobre una capa isótropa solo presenta
ENGs de segundo orden, mientras que el pulso (limitado en
el tiempo) presenta efectos de primer y segundo orden.
Calculamos las magnitudes de dichos efectos para el caso de
una placa plano-paralela de unas decenas de micrones
teniendo en cuenta la existencia de múltiples reflexiones y
la validez de la aproximación a segundo orden. Sin
embargo, la influencia que puede tener cada uno de estos
ENGs debe ser profundizada. A partir de este trabajo,
consideramos que estamos en condiciones de comenzar a
estudiar el caso de incidencia oblicua (donde todos los
efectos estarán presentes), analizando con detalle cada uno
0
5x10
5
0
20
40
60
80
x/
λ
v
(
σ
zef
-
σ
T
)/
σ
zef
-1000 0 1000 2000 3000
1
2
0
t
ω
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de los ENGs y la influencia de considerar solo las primeras
transmisiones, ya que el tamaño finito de las placas impone
un número máximo. Con respecto a las deformaciones
sufridas por los pulsos, el estudio deberá hacerse en forma
más detallada ya que el principio de causalidad no permite
que el corrimiento temporal real sea negativo.
IV. AGRADECIMIENTOS
Este trabajo fue realizado con el apoyo parcial de los
siguientes subsidios:
20020130100346BA- UBACYT 2014-2017
20020160100042BA- UBACYT 2017-2020
20020160100052BA- UBACYT 2017-2020
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multilayered media”, J. Opt. Soc. Am. A, vol. 3, pp. 558-565, 1986.
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Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light, 7
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Revista elektron, Vol. 2, No. 1, pp. 1-6 (2018)
ISSN 2525-0159
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