El campo magn
´
etico generado por las bobinas de
Helmholtz y su aplicaci
´
on a la calibraci
´
on de
sondas
Fano W. G., Alonso R. y Quintana G.
Universidad de Buenos Aires, Departa mento de Electr
´
onica, Laboratorio de Radiaci
´
on Electromagn
´
etica
Av. Paseo Col
´
on 850 - C1063ACV - Buenos Aires - Argentina
Abstract—The coils are usually used to establish a known
and uniform magnetic field zone for various applications. It
is important to know the area where this magnetic field is
uniform with the different spatial variables x, y, z. In the
area where a uniform magnetic field is generated, sensor
and magnetic field probes calibrations can be made in a low
frequency range. This work is dedicated to calculate and
measure the magnetic field generated by Helmholtz coils and
to determine the uniformity and accuracy of the magnetic
field with respect to the center of symmetry of the studied
system.
Resumen— Las bobinas de Helmholtz habitualmente se usan
para establecer una zona de campo magn
´
etico conocido y
uniforme para diversas aplicaciones. Es importante conocer
la zona dond e d icho campo magn
´
etico es uniforme con las
distintas variables espaciales x, y, z. En la zona donde se
genera un campo magn
´
etico uniforme, se pueden hacer las
calibraciones de sensores magn
´
eticos y sondas de campo
magn
´
etico, en un rango de bajas frecuencias. Este trabajo se
dedica a calcular y medir el campo magn
´
etico generado por
las bobinas de Helmholtz y determinar la uniformidad y la
exactitud del campo magn
´
etico respecto al centro de simetr´ıa
del sistema estudiado.
I. INTRODUCCI
´
ON
En la actualidad es necesar io realizar una medici´on del
campo magn´etico emitido por dispositivos electr´onicos,
para estudiar la compatibilidad electromagn´etica [1], [2],
o emitido por fe n ´omenos naturales [3]. Para realizar las
medicione s de campo magn´etico, e s necesario tener un
sistema de medici´on calibrado donde las sondas se someten
a la acci´on del campo magn´etico uniforme [4], con el objeto
de obtener el factor de calibraci´on tambien conocido con el
nombre de factor de antena [5]. El campo magn´etico a medir
puede estar en una zona conocida como de campo lejano [6],
o d e campo cercano [7 ].
Las bobinas de Helmholtz son la configuraci´on m´as
simple para producir un campo m a gn´etico relativamente
constante. Las bobinas de Helmholtz son dos bobinas cir-
culares coaxiales con el mismo radio que es igual a la
distancia entre los planos de las bobinas [8]. Cuando las
corrientes circulan en sentidos opuestos la configuraci´on se
denomina bobinas anti-Helmholtz, y e s importante en varias
aplicaciones como mediciones, investigacion es biom´edicas,
calibraci´on de puntas y sensores etc. Ampliar el area de
homogeneidad y reducir la variaci´on del campo en los ejes
son las tar eas de inter´es basadas en el estudio de un sistema
de dos bobinas, se determino que tres b obinas por las que
circula corriente producen un campo magn´etico de mejores
caracteristicas en intensidad y uniformidad que las b obinas
de Helmholtz standard. Las bobinas poligonales son m´as
f´aciles de producir en la industria. [9]. Cuando se incremen ta
el n´umero de lados de un pol´ıgono que forman la bobina,
la distribuci´on de la intensidad de campo magn´etico es m´as
unifor me [9] , [10]. Si se requiere mayor uniform idad d el
campo magn´etico se puede emplear un sistema rectangular
de 5 bobinas, para mediciones biomagn´eticas [9] [11]. Para
calibrar mag net´ometros en un campo magn´etico u niforme se
encuentr a un sistema de 8 bobinas de Helmholtz, donde la
inhomogeneidad obtenida es menor a 0 , 1% para z = a/2,
[12].
II. TEOR
´
IA
A. Densidad de flujo magn
´
etico est
´
atico en el eje de la
espira
Fig. 1. Espira conectada a un generador de corriente continua con la
geometria del problema
Considere una espira donde circula una corriente el´ectrica
I constante en el tiempo. Partiendo de la expr esi´on difer en-
cial de la ley de Biot-Savart [13], [14]:
dB(r) =
µ
0
I
4π
dr
×
R
R
3
(1)
donde :
dr
= adφ
b
φ,
R =
r
r
= zbzabρ y |
R| =
z
2
+ a
2
.
La ecuaci´on (1) resulta:
dB(r) =
µ
0
I
4π
(adφ
zbρ)
+ (a
2
bz)
(z
2
+ a
2
)
3/2
(2)
Revista elektron, Vol. 1, No. 2, pp. 91-96 (2017)
ISSN 2525-0159
91
Recibido: 20/07/17; Aceptado: 20/08/17
Hay que integrar (2) para obten er
B(r). Aqui se puede
observar en la Figura (1), que por la simetria del problem a:
B(r) = B(r)bz, entonces se obtiene [14]:
B(r) =
µ
0
Ibz
4π
a
2
(z
2
+ a
2
)
3/2
ˆ
2π
0
(3)
Resulta:
B(r) =
µ
0
I
2
a
2
(z
2
+ a
2
)
3/2
bz (4)
Fig. 2. bobinas de Helmholtz.
La densidad de flujo magn´etico B pr oducida por dos
espiras, como se observa en la Figura 2, donde circula una
corriente est´atica I en cada una de las espiras, se calcula
sumando dos componentes del vector
B , de acu erdo al re-
sultado de la ecuaci´on (4 ), que se obtuvo
B , se tendr´an dos
t´erminos iguales, donde las espiras se encuentran localizadas
en z = d/2 y z = +d/2:
B(r) =
µ
0
Ia
2
2
(5)
·
"
1
((z
d
2
)
2
+ a
2
)
3/2
+
1
((z +
d
2
)
2
+ a
2
)
3/2
#
bz
De la ecuaci´on (6) haciendo la deriva da primera y segunda
del vector
B respecto de z, se anulan
B
z
=
2
B
z
2
= 0, para
z = 0 y a = d , [15], [14]:
B(r) |
z=0
=
µ
0
Ia
2
((a/2)
2
+ a
2
)
3/2
bz (6)
Resulta:
B(r) |
z=0
=
µ
0
I
(
5
4
)
3/2
a
bz (7)
El campo
B se puede desarrollar en series de Taylor, y
asi se obtiene que la de sviaci´on respecto de
B(z) |
z=0
es:
B(z) = B(0)(1 ± 1.510
4
) para | z |<
a
10
[15]. Otr os
autores realizan la pro pagaci´on de errores de la ecua ci´on (7)
[16]. En este trabajo interesa obtener la soluci´on anal´ıtica del
vector
B , y luego se obtiene el error relativo porcentual en
funci´on de la distancia a l origen de coordenadas en funci´on
de ρ =
p
x
2
+ y
2
.
A continuaci´on se calcula el vector B en cualquier punto
del espacio con una excitaci´on de corriente alterna.
B. Densidad de flujo magn
´
etico variable en el tiempo,
para un punto cualquiera del espacio. Aproximaci
´
on cuasi-
est
´
atica
Aqui se considera la espira circular, donde se conecta a
un generador de corriente alterna, para hacerle circular un a
corriente I(t) sinusoidal como se observa en la Figura 3. Las
bobinas de Helmholtz para frecuen c ia s de LF, VLF y ULF, la
longitud de onda es mucho mas grande que las dimensiones
de la espir a. En la pr´actica se utiliza un n´umero de vueltas
en cada bobinado que con forman las Bobinas de Helmholtz,
donde el n´umero de vueltas de la bobina (N), multiplicado
por el per´ımetro de la circunf erencia (C), es mucho menor
a una longitud de onda NC << λ, que se puede enunciar
como [17]:
NC <
λ
10
(8)
Fig. 3. Espira alimentada por un generador de corriente alterna.
A las fre c uencias que cumplen la relaci´on (8), se puede
aplicar la aproximaci´on cu asiest´atica, donde la corriente es
pr´acticamente constante en cada punto de las espiras de las
bobinas de Helmholtz, solo ser´a variable con el tiempo. El
potencial vectorial magn´etico
A para magnetoest´atica, se
puede escribir como [15]:
A =
µ
0
4π
ˆ
v
J(r)dv
R
(9)
Para el c a so particular de una espira, donde circula una
corriente, y la espira se considera como una ınea, la
expresi´on se reducir´a:
A =
µ
0
4π
˛
c
I
dl
R
(10)
donde
dl
= (asenφ
, acosφ
, 0 )
r = (rse, 0, rcosθ)
r
= (acosφ
, ase
, 0 )
R =|
r
r
|=
p
r
2
+ a
2
2rasenθcosφ
La Intensidad de corriente I ser´a constante en el per´ımetro
del lazo [17]. El potencial vectorial magn´etico
A resulta:
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