El campo magn
´
etico generado por las bobinas de
Helmholtz y su aplicaci
´
on a la calibraci
´
on de
sondas
Fano W. G., Alonso R. y Quintana G.
†
Universidad de Buenos Aires, Departa mento de Electr
´
onica, Laboratorio de Radiaci
´
on Electromagn
´
etica
Av. Paseo Col
´
on 850 - C1063ACV - Buenos Aires - Argentina
Abstract—The coils are usually used to establish a known
and uniform magnetic field zone for various applications. It
is important to know the area where this magnetic field is
uniform with the different spatial variables x, y, z. In the
area where a uniform magnetic field is generated, sensor
and magnetic field probes calibrations can be made in a low
frequency range. This work is dedicated to calculate and
measure the magnetic field generated by Helmholtz coils and
to determine the uniformity and accuracy of the magnetic
field with respect to the center of symmetry of the studied
system.
Resumen— Las bobinas de Helmholtz habitualmente se usan
para establecer una zona de campo magn
´
etico conocido y
uniforme para diversas aplicaciones. Es importante conocer
la zona dond e d icho campo magn
´
etico es uniforme con las
distintas variables espaciales x, y, z. En la zona donde se
genera un campo magn
´
etico uniforme, se pueden hacer las
calibraciones de sensores magn
´
eticos y sondas de campo
magn
´
etico, en un rango de bajas frecuencias. Este trabajo se
dedica a calcular y medir el campo magn
´
etico generado por
las bobinas de Helmholtz y determinar la uniformidad y la
exactitud del campo magn
´
etico respecto al centro de simetr´ıa
del sistema estudiado.
I. INTRODUCCI
´
ON
En la actualidad es necesar io realizar una medici´on del
campo magn´etico emitido por dispositivos electr´onicos,
para estudiar la compatibilidad electromagn´etica [1], [2],
o emitido por fe n ´omenos naturales [3]. Para realizar las
medicione s de campo magn´etico, e s necesario tener un
sistema de medici´on calibrado donde las sondas se someten
a la acci´on del campo magn´etico uniforme [4], con el objeto
de obtener el factor de calibraci´on tambien conocido con el
nombre de factor de antena [5]. El campo magn´etico a medir
puede estar en una zona conocida como de campo lejano [6],
o d e campo cercano [7 ].
Las bobinas de Helmholtz son la configuraci´on m´as
simple para producir un campo m a gn´etico relativamente
constante. Las bobinas de Helmholtz son dos bobinas cir-
culares coaxiales con el mismo radio que es igual a la
distancia entre los planos de las bobinas [8]. Cuando las
corrientes circulan en sentidos opuestos la configuraci´on se
denomina bobinas anti-Helmholtz, y e s importante en varias
aplicaciones como mediciones, investigacion es biom´edicas,
calibraci´on de puntas y sensores etc. Ampliar el area de
homogeneidad y reducir la variaci´on del campo en los ejes
son las tar eas de inter´es basadas en el estudio de un sistema
de dos bobinas, se determino que tres b obinas por las que
circula corriente producen un campo magn´etico de mejores
caracteristicas en intensidad y uniformidad que las b obinas
de Helmholtz standard. Las bobinas poligonales son m´as
f´aciles de producir en la industria. [9]. Cuando se incremen ta
el n´umero de lados de un pol´ıgono que forman la bobina,
la distribuci´on de la intensidad de campo magn´etico es m´as
unifor me [9] , [10]. Si se requiere mayor uniform idad d el
campo magn´etico se puede emplear un sistema rectangular
de 5 bobinas, para mediciones biomagn´eticas [9] [11]. Para
calibrar mag net´ometros en un campo magn´etico u niforme se
encuentr a un sistema de 8 bobinas de Helmholtz, donde la
inhomogeneidad obtenida es menor a 0 , 1% para z = a/2,
[12].
II. TEOR
´
IA
A. Densidad de flujo magn
´
etico est
´
atico en el eje de la
espira
Fig. 1. Espira conectada a un generador de corriente continua con la
geometria del problema
Considere una espira donde circula una corriente el´ectrica
I constante en el tiempo. Partiendo de la expr esi´on difer en-
cial de la ley de Biot-Savart [13], [14]:
−−−→
dB(r) =
µ
0
I
4π
−→
dr
′
×
−→
R
R
3
(1)
donde :
−→
dr
′
= adφ
′
b
φ,
−→
R =
−→
r −
−→
r
′
= zbz−abρ y |
−→
R| =
√
z
2
+ a
2
.
La ecuaci´on (1) resulta:
−−−→
dB(r) =
µ
0
I
4π
(adφ
′
zbρ)
+ (a
2
dφ
′
bz)
(z
2
+ a
2
)
3/2
(2)
Revista elektron, Vol. 1, No. 2, pp. 91-96 (2017)
ISSN 2525-0159
91
Recibido: 20/07/17; Aceptado: 20/08/17
Hay que integrar (2) para obten er
−−→
B(r). Aqui se puede
observar en la Figura (1), que por la simetria del problem a:
−−→
B(r) = B(r)bz, entonces se obtiene [14]:
−−→
B(r) =
µ
0
Ibz
4π
a
2
(z
2
+ a
2
)
3/2
ˆ
2π
0
dφ
′
(3)
Resulta:
−−→
B(r) =
µ
0
I
2
a
2
(z
2
+ a
2
)
3/2
bz (4)
Fig. 2. bobinas de Helmholtz.
La densidad de flujo magn´etico B pr oducida por dos
espiras, como se observa en la Figura 2, donde circula una
corriente est´atica I en cada una de las espiras, se calcula
sumando dos componentes del vector
−→
B , de acu erdo al re-
sultado de la ecuaci´on (4 ), que se obtuvo
−→
B , se tendr´an dos
t´erminos iguales, donde las espiras se encuentran localizadas
en z = −d/2 y z = +d/2:
−−→
B(r) =
µ
0
Ia
2
2
(5)
·
"
1
((z −
d
2
)
2
+ a
2
)
3/2
+
1
((z +
d
2
)
2
+ a
2
)
3/2
#
bz
De la ecuaci´on (6) haciendo la deriva da primera y segunda
del vector
−→
B respecto de z, se anulan
∂B
∂z
=
∂
2
B
∂z
2
= 0, para
z = 0 y a = d , [15], [14]:
−−→
B(r) |
z=0
=
µ
0
Ia
2
((a/2)
2
+ a
2
)
3/2
bz (6)
Resulta:
−−→
B(r) |
z=0
=
µ
0
I
(
5
4
)
3/2
a
bz (7)
El campo
−→
B se puede desarrollar en series de Taylor, y
asi se obtiene que la de sviaci´on respecto de
−−→
B(z) |
z=0
es:
B(z) = B(0)(1 ± 1.510
−4
) para | z |<
a
10
[15]. Otr os
autores realizan la pro pagaci´on de errores de la ecua ci´on (7)
[16]. En este trabajo interesa obtener la soluci´on anal´ıtica del
vector
−→
B , y luego se obtiene el error relativo porcentual en
funci´on de la distancia a l origen de coordenadas en funci´on
de ρ =
p
x
2
+ y
2
.
A continuaci´on se calcula el vector B en cualquier punto
del espacio con una excitaci´on de corriente alterna.
B. Densidad de flujo magn
´
etico variable en el tiempo,
para un punto cualquiera del espacio. Aproximaci
´
on cuasi-
est
´
atica
Aqui se considera la espira circular, donde se conecta a
un generador de corriente alterna, para hacerle circular un a
corriente I(t) sinusoidal como se observa en la Figura 3. Las
bobinas de Helmholtz para frecuen c ia s de LF, VLF y ULF, la
longitud de onda es mucho mas grande que las dimensiones
de la espir a. En la pr´actica se utiliza un n´umero de vueltas
en cada bobinado que con forman las Bobinas de Helmholtz,
donde el n´umero de vueltas de la bobina (N), multiplicado
por el per´ımetro de la circunf erencia (C), es mucho menor
a una longitud de onda NC << λ, que se puede enunciar
como [17]:
NC <
λ
10
(8)
Fig. 3. Espira alimentada por un generador de corriente alterna.
A las fre c uencias que cumplen la relaci´on (8), se puede
aplicar la aproximaci´on cu asiest´atica, donde la corriente es
pr´acticamente constante en cada punto de las espiras de las
bobinas de Helmholtz, solo ser´a variable con el tiempo. El
potencial vectorial magn´etico
−→
A para magnetoest´atica, se
puede escribir como [15]:
−→
A =
µ
0
4π
ˆ
v
−−→
J(r)dv
′
R
(9)
Para el c a so particular de una espira, donde circula una
corriente, y la espira se considera como una l´ınea, la
expresi´on se reducir´a:
−→
A =
µ
0
4π
˛
c
I
−→
dl
′
R
(10)
donde
−→
dl
′
= (−asenφ
′
, acosφ
′
, 0 )dφ
′
−→
r = (rsenθ, 0, rcosθ)
−→
r
′
= (acosφ
′
, asenφ
′
, 0 )
R =|
−→
r −
−→
r
′
|=
p
r
2
+ a
2
− 2rasenθcosφ
′
La Intensidad de corriente I ser´a constante en el per´ımetro
del lazo [17]. El potencial vectorial magn´etico
−→
A resulta:
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−→
A =
µ
0
4π
˛
0
π
b
φIcosφ
′
dφ
′
p
r
2
+ a
2
− 2rasenθcosφ
′
(11)
Esta es la ecuaci´on integral de Fredho lm de primera
especie [18], que se resuelve y se obtiene [19]:
−→
A =
µ
0
I
πk
r
a
ρ
·
(1 −
1
2
k
2
) · K(k
2
) − E(k
2
)
(12)
donde : ρ =
√
r
2
− z
2
k
2
=
4aρ
(a+ρ)
2
+z
2
K(k) =
´
π/2
0
dφ
√
1−k
2
sen
2
φ
Integral el´ıptica de 1
a
especie.
E(k) =
´
π/2
0
p
1 − k
2
sen
2
φdφ Integral el´ıptica de 2
a
especie.
Se calcula finalmente
−→
B me diante el rotor del potencial
vectorial magn´etico [19], [1 8]:
−→
B
ρ
=
µ
0
I
2π
z
ρ
p
(ρ + a)
2
+ z
2
(13)
·
ρ
2
+ a
2
+ z
2
(a − ρ)
2
+ z
2
· E(k
2
) − K(k
2
)
−→
B
z
=
µ
0
I
2π
1
p
(ρ + a)
2
+ z
2
(14)
·
a
2
− ρ
2
− z
2
(a − ρ)
2
+ z
2
· E(k
2
) − K(k
2
)
Estas son las expresiones del vector de la densidad de
flujo magn´etico
−→
B , para una espira, en sus componentes
B
z
y B
ρ
.
Considerando la suma de las densidades de flujo
magn´etico B de cada espira, una en la posici´on z = −d/ 2
y la otra en z = +d/2 se obtiene la densidad de flujo
magn´etico de las bobinas de Helmholtz:
B
ρ
= B
ρ
(ρ, z + d) + B
ρ
(ρ, z − d) (15)
B
z
= B
z
(ρ, z + d) + B
z
(ρ, z − d)
III. RESULTADOS EXPERIMENTALES
Las bobinas de Helmholtz que se han construid o, como
se observa en la Figura 5, tienen los siguientes datos:
a radio
d separaci´on entre bobinas
N = 8 n´umero de vueltas
d = a = 0, 39m
Se coloc´o el cable de 8 conducto res en una vaina pl´astica
circular para que conserve la geometr´ıa. En la Figura 4 se
puede observar la foto del banco de medici´on construido.
Los compo nentes del banco de medici´on se pueden observar
en la Figura 5, donde las bobinas se conectan en serie,
con una resistencia R
ext
= 56Ω, y luego se conectan al
generador de forma de ondas. Para detectar y medir el
campo magn´etico, se coloca en el eje del sistema una bobina
de 50 vueltas con un radio a = 0, 022m. Se utiliz´o un
condu c tor de cobre esmaltado de 0, 2mm de di´ametro. En
algunas referenc ias se pueden encontrar el dise˜no de los
lazos calibrad os blindados q ue se recomiendan para realizar
las mediciones [ 20].
Fig. 4. Foto de la disposici´on experimental.
Fig. 5. Esquema del experimento utilizado para generar el campo
magn´etico en la regi´on que separa las bobinas de Helmholtz
La corriente que circular´a por las bobinas est´a d ada por
la siguiente expresi´on:
I =
V
g
R
g
+ R
ext
+ (R + jX)
(16)
donde : V
g
es la tensi´on del generador,R
g
= 50 Ω es la
impedancia del g enerador, y R
ext
= 56 Ω es la resistencia
externa, R + jX es la impedancia de las bobinas de
Helmholtz en serie.
Esta corriente me dida en el osciloscopio es aproximada-
mente | I |
∼
=
15mA.
Las bobinas de Helmholtz est´an conectadas en serie, y
para saber el ancho de banda ´util en el cual se van a utilizar,
se mide la impedancia con el obje tivo de verificar que se
utilicen en la regi´on inductiva, y que la resonancia no afecte
las mediciones. La impedancia se ha medido con un medidor
LCR de 10Hz a 100kHz como se puede observar en la tab la
I y la Figura 6. De la Tabla I se puede observar que la
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93
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inductancia es aproximadamente: L
∼
=
0, 4mH.
Tabla I
IMPEDANCIA MEDIDA DE LAS DOS BOBI NAS DE HELMHOLTZ EN SERIE.
Frecuencia[Hz] Q X(Ω) R(Ω) L(mH)
12 0,0071 0.028 4,13 0,38
20 0,012 0.050 4,13 0,39
50 0,03 0.125 4,13 0,40
100 0,06 0.251 4,14 0,40
200 0,12 0.502 4,14 0,40
300 0,18 0.754 4,14 0,40
500 0,303 1.257 4,14 0,40
800 0,484 2.011 4,14 0,40
1000 0,60 2.513 4,14 0,40
2000 1,20 5.026 4,14 0,40
3000 1,80 7.540 4,15 0,40
5000 3,00 12.57 4,16 0,40
7500 4,50 18.85 4,17 0,40
10000 6,00 25.13 4,17 0,40
20000 11,87 50.26 4,20 0,40
28572 16,80 71.81 4,25 0,40
50000 28,6 125.66 4,36 0,40
66667 37,5 167.55 4,46 0,40
100000 53,6 251.33 4,66 0,40
0 20000 40000 60000 80000 100000
0
50
100
150
200
250
frec(Hz)
Z (Ohms)
Impedancia
Fig. 6. M´odulo de la impedancia en funci´on de la frecuencia de las
bobinas de Helmholtz en serie.
Los resultados obtenidos de la densidad de flujo
magn´etico medida a una fr ecuencia de 1kHz, las compo-
nentes en z y ρ se pued e observar en las figuras 7, 8 y
9.
Fig. 7. Componente radial de la densidad de flujo magn´etico B
ρ
en
f
unci´on de z y ρ.
Fig. 8. Componente z de la densidad de flujo magn´etico Bz en funci´on
de z y ρ = 0.
Fig. 9. Componente z de la densidad de flujo magn´etico Bz en funci´on
de z, para ρ = 0.
-0.1 0 0.1
0
10
20
30
40
50
60
70
z (m)
Error relativo porcentual (%)
Fig. 10. Error relativo porcentual respecto a z=0 con ρ = 0.
Una manera de observar la uniformidad de la densidad
de flu jo magn´etico medida a lo largo del eje z es m e diante
el gr´afico del error relativo porcentual ǫ
r
% =
∆B100%
B(z)|
z =0
,
que se puede observar en la Figura 10. En la Figu ra 11 se
observa un gr´afico con las cur vas de nivel del error relativo
porcen tual y en la Figura 12 se observa el erro r relativo
porcen tual en el espacio. En la Figura 13 se puede observar
la densidad de flujo magn´etico, q ue se obtuvo midiendo la
diferencia de potencial en dB, sumado el factor de antena.
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94
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Se n ota que B es aproximadamente constante para peque˜nos
valores de z, luego comienza a disminuir el valor de B.
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
-0.2
0
0.2
z-axis (m)
ρ(m)
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
40
40
40
40
40
40
40
40
50
50
50
50
60
60
60
60
70
70
70
70
Contorno de error relativo (%)
Fig. 11. Curvas de nivel del Error relativo porcentual respecto a z=0, en
funci´on de z y de ρ.
0
20
40
60
80
z (m)
Error relativo 3D(%)
0.2
0.4
-0.2
0
-0.4
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
ρ(m)
Fig. 12. Error relativo porcentual respecto a z=0 en funci´on de z y de ρ.
-0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Bmedido (micro T)
Fig. 13. Densidad de flujo magn´etico en funci´on de z, para ρ = 0
IV. CONCLUSIONES
Se ha estudiado la generaci´on q ue prod ucen las bobinas de
Helmholtz qu e se usan para establecer una zona de densidad
de flujo magn´etico B conocido y uniforme para diversas
aplicaciones. Es imp ortante conocer la zona donde dicho
campo B es uniforme con las distintas variables espaciales
x, y, z. Se construy´o un banco experimental con las bobinas
de Helmholtz, de 0, 7 8m de radio, con 8 vueltas de alambre,
que presentaron una resistencia R
∼
=
4Ω y L = 0, 4m H, se
determin´o me diante la medici´on de la imped ancia con un
instrumento LCR, que hasta una frecuencia de f = 100kHz
se midi´o y presentan un comportamiento inductivo, y no se
observa la resonancia. Se determin´o la zona d el erro r relativo
porcen tual en funci´on d e z y ρ. En la zona donde se genera
un campo B uniforme, se pueden hacer las calibraciones de
sensores magn´eticos y sondas de campo magn´etico, en u n
rango de bajas frecuencias. Este trabajo se dedica a calcular
y medir el campo magn´etico gener ado por las bobinas de
Helmholtz
En e ste trabajo se obtuvo la soluci´on anal´ıtica del vector
−→
B , y luego se obtuvo el erro r relativo porcentual en funci´on
de la distancia a l o rigen de coordena das y en funci´on de z
y de ρ. Se pudo medir la densidad d e flujo magn´etico B(z)
y se observa que para peque˜nos valores de z, | z |< 0.12,
B es prac ticamente constante. Para mejorar la sensibilidad
con q ue detecta la sonda en las mediciones, habria que
colocar un amplificador de co rriente para excitar las bobin as
de Helmholtz. Adem´as se puede a umentar el radio de las
bobinas de H elmholtz, si se desea una zona de mayor tama˜no
para B unifor me, y se puede seguir el procedimiento de este
trabajo, recalculando las dimensiones.
AGRADECIMIENTOS
Se agradece a la Universidad de Buenos Aires, por
el proye cto UBACyT Estudio de perturbaciones electro -
magn´eticas producidas por movimientos s´ısmicos, c´odigo
200201501 00085.
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