Abstract— A method for high power pulse transformer design
is presented based on analytical assumptions that lead to sizing
equations allowing one step design which may then be improved
by iteration. An example of a transformer design procedure used
in a pulse generator for electroporation is included.
Keywords: Electroporation; magnetics components; power
electronics; power pulse generators; pulse transformers.
Resumen— Se presenta un método para el diseño de
transformadores de pulsos de alta potencia basado en
consideraciones analíticas que conducen a ecuaciones de
dimensionamiento que permiten el proyecto en un solo un paso,
que puede mejorarse luego mediante iteración. Se incluye un
ejemplo de procedimiento de diseño de transformador utilizado
en un generador de pulsos para electroporación.
Palabras clave: Electroporación; componentes magnéticos;
electrónica de potencia; generadores de pulsos de potencia;
transformadores de pulsos.
I. NOMENCLATURA
: tensión del bus de continua
: tensión máxima secundaria
: número de espiras del bobinado primario
: número de espiras del bobinado secundario
: número de espiras del bobinado de reset magnético
: corriente máxima primaria
: corriente máxima secundaria
: ancho máximo de pulso
T : período de repetición del tren de pulsos
: frecuencia de repetición del tren de pulsos (
)
: número de pulsos del tren de pulsos
: sección mínima del núcleo magnético
: longitud del camino magnético medio
: volumen del núcleo
: longitud de la espira eléctrica media
: permeabilidad del vacío (
)
: permeabilidad relativa efectiva del material magnético
: área de ventana del núcleo
: área de ventana del bobinado primario
: área de ventana del bobinado secundario
: área de ventana del bobinado de desmagnetización
: inducción magnética máxima
: inducción magnética de saturación
: densidad de corriente primaria
: densidad de corriente secundaria
: densidad de corriente en el bobinado auxiliar de
desmagnetización (reset magnético)
: sección del conductor primario
: sección del conductor secundario
: sección del conductor del bobinado de
desmagnetización
: factor de ventana (
)
: Factor de partición de ventana
: factor de llenado de ventana primaria
: factor de llenado de ventana secundaria
: factor de llenado de ventana del bobinado de
desmagnetización
: profundidad de penetración en el conductor
: permeancia del núcleo, también llamada en los
manuales como factor de inductancia (
)
: inductancia de magnetización referida al primario
: inductancia de magnetización referida al secundario
: inductancia de reset magnético
: tiempo de desmagnetización (o de reset magnético)
: máximo valor de la corriente de pico de
desmagnetización
: valor eficar de la corriente en el bobinado de reset
magnético
: máximo valor de la tensión colector-emisor
: máxima corriente instantánea de colector
: máxima tensión inversa a soportar por el diodo de
reset magnético
: máxima corriente instantánea de pico repetitivo a
soportar por el diodo de reset magnético
: resistencia del bobinado en corriente continua
Proyecto de transformadores
de pulsos de potencia
High Power Pulse Transformer Design
Hernán E. Tacca
Laboratorio de Control de Accionamientos, Tracción y Potencia (LABCATYP)
Departamento de Electrónica - Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires
Paseo Colón 850, 1063 Ciudad de Buenos Aires, Rep. Argentina
htacca@fi.uba.ar
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Recibido: 28/08/20; Aceptado: 27/10/20
Creative Commons License - Attribution-NonCommercial-
NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0)
https://doi.org/10.37537/rev.elektron.4.2.102.2020
Original Article
: resistencia del bobinado en corriente alterna
: número de capas de un bobinado
: factor de incremento de la resistencia de los bobinados
(
: frecuencia máxima para estimar
: período de recorrido del lazo B-H
: frecuencia de recorrido del lazo B-H
: superficie de disipación de calor para el bobinado
: superficie de disipación de calor para el núcleo
: sobre elevación de temperatura respecto del
ambiente
: resistividad del cobre (aprox. 0,02 .10
- 6
Ωm a 40
o
C).
II. INTRODUCCIÓN
L uso de campos eléctricos para crear poros en
membranas celulares de manera reversible para
facilitar la absorción de sustancias o para extraerlas del
citoplasma es una técnica denominada electroporación [1],
[2]. Esta puede ser reversible, cuando la membrana recupera
su estado inicial luego de retirado el campo o bien
irreversible cuando la membrana se desgarra por la magnitud
del campo aplicado. Esta última aplicación requiere campos
mayores que destruyen la célula así tratada. El primer tipo de
electroporación tiene aplicación en la medicina para facilitar
el tratamiento de tejidos con drogas que de otra forma no
penetrarían con la concentración deseada. Esto es de interés
en oncología para incrementar la concentración de la
quimioterapia en el tejido tumoral sin tener que aumentar la
exposición del tejido sano que queda sometido a una dosis
menor, reduciéndose los efectos colaterales indeseados.
En la industria, la electroporación puede emplearse para
facilitar la extracción de compuestos intracelulares
empleando menos solventes, reduciendo el impacto
ambiental de los procesos de fabricación [3].
Por su parte, la electroporación irreversible puede
emplearse para esterilizar sin degradar el material a tratar
porque se trata de un procedimiento que no calienta
significativamente la muestra procesada. Por ejemplo, se
puede esterilizar alimentos sin destruir vitaminas u otros
compuestos que se desea preservar [1], [3].
Para aplicar campos eléctricos de la magnitud requerida
sin calentar el material a procesar es preciso que el campo sea
pulsado, espaciando los pulsos el tiempo suficiente como
para que el calor generado por la circulación de corriente a
través del material pueda disiparse sin calentarlo
significativamente.
En algunos casos, se controla la frecuencia de los pulsos
de modo tal de calentar la materia procesada a temperaturas
que facilitan la extracción de compuestos o contribuyen a la
esterilización.
Existen varias formas de generar estos pulsos: Una muy
utilizada es descargar capacitores sobre la muestra a tratar [5]
pero los pulsos obtenidos no aplican un campo eléctrico
constante sobre el material procesado. Para lograr la ventaja
de aplicar un campo conocido y regulable se debe recurrir a
la generación de pulsos de forma rectangular, con tensiones
y ancho de pulsos ajustables.
En tratamientos médicos el número de pulsos a aplicar
deberá ser ajustable y en procesos industriales la frecuencia
de repetición deberá poder controlarse.
Los pulsos pueden ser unipolares o bipolares [2] y siempre
en estas aplicaciones el período de repetición de los pulsos es
mucho mayor que la duración de su ancho (ciclos de servicio
del orden de 1/1000 o menor). Cuando esta condición no se
cumpla el transformador debería proyectarse como un
transformador para onda no sinusoidal de alta frecuencia para
lo cual hay muchos métodos disponibles según que los
convertidores sean simétricos o asimétricos [7], [13], [15].
III. OPERACIÓN CON PULSOS UNIPOLARES
En el caso de pulsos unipolares destinados a un proceso
continuo, la forma de onda puede ser la mostrada en la Fig.
1. Allí se ve un tren de k pulsos que se repite con un período
T.
Un circuito típico que puede generar estos pulsos se
muestra en la Fig. 2. Corresponde a un generador con
transformador de pulsos para aislar la carga de la fuente de
alta tensión primaria (que puede ser un rectificador
directamente conectado a la red o un convertidor sin
aislamiento).
En el caso de pulsos unipolares destinados a un proceso
continuo, la forma de onda puede ser la mostrada en la Fig.
1. Allí se ve un tren de k pulsos que se repite con un período
T.
Un circuito típico que puede generar estos pulsos se muestra
en la Fig. 2. Corresponde a un generador con transformador
de pulsos para aislar la carga de la fuente de alta tensión
primaria (que puede ser un rectificador directamente
conectado a la red o un convertidor sin aislamiento).
Fig. 1. Forma del tren de pulsos.
En la Fig. 2 se muestra un bobinado auxiliar para
desmagnetizar el núcleo, capaz de devolver energía hacia la
fuente primaria en caso de que fuere necesario.
Fig. 2. Circuito básico de un generador de pulsos unipolares con
transformador de pulsos.
Es la opción de reset magnético más simple pero se han
1
2
3
k
t
1
T
CARGA
SNUBBER
E
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propuesto otros sistemas activos que emplean fuentes
auxiliares para desmagnetizar [14].
IV. ECUACIONES BÁSICAS
De la ley de Faraday, para la tensión primaria se deduce:
(1)
Por otra parte, la corriente eficaz primaria deberá
satisfacer:
(2)
Con (1) y (2), y con la definición de factor de ventana:
(3)
se tiene:
(4)
De (1) se despeja:
(5)
La potencia primaria es:
(6)
de donde se despeja:
(7)
Por otra parte, de la Fig. 1 resulta:
(8)
Con (7) y (8) se obtiene:
(9)
Una vez determinado T se puede determinar el valor
eficaz:
(10)
La inductancia de magnetización referida al primario es:
(11)
donde
es la permeancia del núcleo:
(12)
El valor máximo de la corriente de magnetización primaria
será:
(13)
De la ley de Ampère se deduce el valor máximo de la
inducción:
(14)
Sustituyendo la definición (12) en (14) resulta:
(15)
Con esta expresión se podrá verificar que sea,
.
En el caso de múltiples núcleos apilados será,
(16.a)
(16.b)
siendo: el número de secciones apiladas,
: la sección
magnética correspondiente a un único núcleo (dada en la hoja
de datos del núcleo) y
: la permeancia correspondiente a
un único par de núcleos (de la hoja de datos según el material
adoptado).
La corriente máxima de colector del transistor será:
(17)
siendo:
(18)
donde:
(19)
El peor caso durante la desmagnetización ocurrirá cuando
toda la energía acumulada en
deba ser devuelta a la
fuente de tensión de desmagnetización
a través del
bobinado de reset magnético
. La forma de onda de la
corriente de desmagnetización que circula a través del
bobinado
se muestra en la Fig. 3.
El valor eficaz de esta corriente será:
(20)
De la continuidad de la f.m.m. en el núcleo se tiene:
(21)
Según la ley de Faraday se deben cumplir:
(22.a)
(22.b)
siendo
la inductancia de reset magnético, que es la
inductancia de magnetización referida al bobinado de
desmagnetización. O sea:
(23)
Despejando
de (22.b) y empleando (22.a), (21) y (23)
resulta:
(24)
La tensión máxima de colector será:
(25)
Sustituyendo (25) en (24) se obtiene:
(26)
Si se desea que
resultará
,
independientemente de la elección que se hiciere de
y de
. Por lo tanto, se adoptará sencillamente
(para
devolver la energía de magnetización a la fuente primaria).
Con esta elección de la (25) se despeja:
(27)
Por otra parte, sustituyendo (21) en (20) se tiene:
(28)
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Fig. 3. Forma del tren de pulsos de desmagnetización.
Con esta ecuación se dimensionará el conductor del
bobinado de desmagnetización o “reset magnético”.
La máxima tensión a soportar por el diodo de
desmagnetización será:
(29)
Su corriente máxima de pico repetitivo:
(30)
y la corriente media por el diodo de desmagnetización será:
(31)
V. CONSIDERACIONES RESPECTO DEL EFECTO PELICULAR Y
SOBRE EL EFECTO DE PROXIMIDAD
A. Influencia del efecto pelicular
El peor caso desde el punto de vista de las frecuencias
armónicas ocurre cuando se tiene un único pulso de ancho
con un período de repetición T, como se ve en la Fig. 4.
Fig. 4. Forma del pulso de corriente.
En la Fig. 4 se ve que el pulso de corriente primaria tiene
simetría de función par, con lo cual las componentes
armónicas son:
(32)
(33)
De donde resulta:
(34)
y la potencia perdida en el cobre por cada componente
armónica será:
(35)
Sustituyendo (34) en (35) resulta:
(36)
La ecuación (36) es un desarrollo de componentes
armónicas con una función “sinc
2
” como envolvente. Allí,
las componentes incluidas en el primer lóbulo de la
envolvente llevan potencias significativas cuando
. Por lo tanto, sólo se considerará que las
frecuencias menores que este límite de frecuencia
(comprendido dentro del primer lóbulo) deban satisfacer el
requisito exigido por el efecto pelicular. O sea, que para la
máxima frecuencia comprendida dentro del primer lóbulo se
cumpla:
(37)
donde, e es la dimensión característica del conductor
(diámetro o espesor de la cinta) y
es la profundidad de
penetración a la máxima frecuencia considerada
.
La frecuencia máxima se obtiene cuando resulta:
, de donde:
Por lo tanto, la frecuencia máxima a considerar resulta:
(38)
Con esta frecuencia se calcula:
(39.a)
que puede expresarse como:
(39.b)
donde,
(39.c)
Para el cobre, en unidades prácticas será aproximadamente:
(40)
Por lo tanto, deberá cumplirse:
(41)
B. Influencia del efecto de proximidad
La única forma de reducir la incidencia del efecto de
proximidad es reducir el número de capas del bobinado. Esto
lleva a no incrementar la sección de los conductores más allá
del límite impuesto por el efecto pelicular.
En el caso bastante habitual de bobinar con cinta, no debe
incrementarse el número de espiras más allá de lo
estrictamente necesario para limitar la corriente de
magnetización (
).
Según lo expuesto en el Apéndice, para un bobinado "x"
según A.26 se puede aproximar:
(42)
1
k
t
T
2
3
1
t
T / 2
T
+ T / 2
- T / 2
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válida si se cumple la condición (41) siendo
el número de
capas del bobinado "x", que por estar bobinado con cinta
coincide con el número de espiras y
es el espesor del
conductor. En esa ecuación
es la resistencia del
bobinado para la corriente continua, es decir sin considerar
los efectos de alta frecuencia.
De acuerdo con lo expuesto en [10] si los bobinados están
subdivididos en varias secciones, se tomará
como el
número de capas a utilizar en (42), siendo
el número de
interfaces entre primario y secundario. O sea, que si no hay
subdivisión la interfaz es única y
.
Si un bobinado se divide en mitades y el otro se intercala
entre ambas es
.
Si se apilan 1/4 de bobinado primario, 1/2 bobinado
secundario, 1/2 bobinado primario, 1/2 bobinado secundario
y finalmente 1/4 de bobinado primario, se tienen cuatro
interfaces entre primario y secundario, y es
.
Ambos números de capas, del primario y del secundario,
deben dividirse por
.
Así, la expresión para tomar en cuenta el efecto de
proximidad resulta:
(43)
donde
está dado por (42).
Luego, con las resistencias efectivas de los bobinados y las
corrientes eficaces pueden calcularse las pérdidas por efecto
Joule.
VI. ESTIMACIÓN DE LAS PÉRDIDAS EN EL NÚCLEO
MAGNÉTICO
De acuerdo con la fórmula de Steinmetz las pérdidas en el
núcleo pueden estimarse con:
(44)
donde,
es el volumen del núcleo (en núcleos tipo EE y C
generalmente se verifica que
).
Para la mayoría de las ferritas resulta y
para materiales de alta permeabilidad para frecuencias de
operación comprendidas entre 20 y 60 kHz o para
materiales de baja permeabilidad aptos para mayores
frecuencias. Para materiales amorfos y nanocristalinos
resulta comprendido entre 1,7 y 2,2.
Si se toma un valor de referencia de la hoja de datos del
material tal que:
se puede expresar (44) como:
(45)
donde,
es la nueva constante de histéresis
que puede obtenerse más fácilmente de las curvas de
densidad de pérdidas, dadas en las hojas de datos del material
a emplear. A partir de esas mismas curvas puede también
estimarse y .
Cada ciclo de magnetización y desmagnetización tiene una
duración:
(46)
Con lo cual, la frecuencia de recorrido del lazo B-H sería:
(47)
y ésta será la frecuencia que se empleará en la (45).
Finalmente, la potencia media perdida en el núcleo será:
(48)
donde k es el número de pulsos por ciclo.
NOTAS:
1) El procedimiento de estimación de pérdidas en el núcleo
presentado es una primera aproximación que puede hacerse
con los datos habitualmente disponibles en las hojas de datos
dadas por los fabricantes de los núcleos de ferrita. Como se
explica en en [8], no se puede aplicar superposición lineal en
el cálculo de pérdidas magnéticas para el caso de múltiples
armónicas y además, cuando hay una componente de
magnetización continua superpuesta, las pérdidas de alterna
se incrementan considerablemente [9], [10].
2) En el caso de utilizar el núcleo con excursión asimétrica la
ecuación de Steinmetz puede expresarse como [9], [11]:
donde
es un factor que toma en cuenta el incremento en
las pérdidas producido por la polarización de continua Hcc y
es función de la magnitud de esta polarización. En el peor
caso suele ser
y como la excursión de la
inducción es unipolar, debería sustituirse por
con
lo cual la expresión anterior quedaría como:
Para los valores usuales de
y resulta
y puede emplearse la ecuación de Steinmetz para corriente
alterna como cota grosera de aproximación de peor caso, es
decir:
Esto implica que también como aproximación pueden
utilizarse los gráficos de pérdidas dados en las hojas de datos
(sin necesidad de extraer a partir de ellos los coeficientes de
Steinmetz).
VII. ESTIMACIÓN DE LA SOBRE ELEVACIÓN DE LA
TEMPERATURA
Según lo expuesto en [7] la diferencia de temperatura
necesaria para transferir el calor al medio ambiente puede
aproximarse por:
(49)
donde
es la potencia de pérdidas a disipar a través de la
superficie
Esta expresión aproximada da una estimación válida para
el caso de refrigeración por convección natural en aire para
sobreelevaciones de temperatura del orden de 50
o
C, a partir
de una temperatura ambiente de aproximadamente 40
o
C.
Según lo explicado en [7], el calor intercambiado entre el
carrete y el núcleo es una pequeña fracción de las pérdidas
totales. Con lo cual, en una primera aproximación, puede
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considerarse que las pérdidas por efecto Joule se disipan por
la superficie exterior del carrete expuesta al aire y las
pérdidas en el hierro por la superficie descubierta del núcleo.
(b)
Fig. 5. Núcleos tipo E. Superficies de disipación del calor para el bobinado
y para el núcleo, (a) dimensiones del núcleo, (b) superficies de disipación.
En la Fig. 5 se muestra la forma de calcular estas
superficies de disipación para un núcleo típico de tipo EE.
La superficie de disipación para el cobre es:
(50.a)
La superficie de disipación para el núcleo es:
(51.a)
En la Fig. 6 se muestra un núcleo tipo C. Para este caso la
superficie de disipación para el cobre es:
(50.b)
Si el espesor del bobinado C
b
es menor que C, se puede
utilizar ese valor en lugar de C en la 50.b pero se debe
adicionar una superficie de disipación BxH que está
disponible en el interior de la ventana. Con lo cual resulta:
(50.c)
La superficie de disipación para el núcleo es:
(51.b)
Del valor dado por la expresión anterior, debería restarse
la superficie de apoyo del núcleo. Por ejemplo, si estuviese
montado verticalmente habría que restar un área B × E.
Para calcular las pérdidas por efecto Joule será necesario
conocer las longitudes de las espiras eléctricas medias para
determinar las resistencias de cada bobinado.
Para el caso de bobinados en carretes de dos secciones
(también denominados carretes partidos) la espira eléctrica
media tendrá el mismo valor para el primario y el
secundario, y puede obtenerse de la hoja de datos del núcleo
adoptado.
(a)
(b)
Fig. 6. Núcleos tipo C. Superficies de disipación del calor para el bobinado
y para el núcleo, (a) dimensiones del núcleo, (b) superficies de disipación.
Para el caso de bobinados superpuestos (también
llamados apilados) en la Fig. 7 se ve cómo calcular la espira
eléctrica media primaria y la secundaria (para núcleos E o
C).
De allí se obtiene:
(52.a)
(52.b)
Fig. 7. Espiras eléctricas medias primaria y secundaria para bobinados
superpuestos.
NOTA:
Cuando se adopte segmentar bobinados, la longitud media
de las espiras puede calcularse promediando las dos
anteriores y serán las mismas para el primario y el
secundario.
(a)
A
A/2
C
B
H
A/2
Fe
dis
S
ACCHAC
Cu
dis
S
2
BAHCABA
Fe
dis
S 22
S
dis
Cu
C
A
B
H
E
D
=2
+
+
+ 2
2 +
=2
+
+
+ 2
2 +
C
B
C
A
C
S
C
P
l
em
P
l
em
S
(primaria)
(secundaria)
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Para el caso de bobinados con carrete de sección dividida,
la espira eléctrica media es:
(52.c)
Cuando los bobinados estén hechos con cinta y tengan
pocas vueltas, el espesor total del bobinado
puede resultar
bastante menor que C. En tal caso la espira media queda:
(52.d)
VIII. ESTIMACIÓN DE LA INDUCTANCIA DE FUGAS
Se define la inductancia total equivalente de fugas referida
al primario según el modelo simplificado de Kapp como:
(53)
donde,
es la inductancia de fugas del primario y
es la
inductancia de fugas del secundario.
De acuerdo con la ecuación planteada en [10] para
bobinados superpuestos es:
(54)
donde, como primera aproximación, se utilizará (52.d) y para
el caso de bobinados apilados subdivididos en secciones,
es el número de interfaces entre primario y secundario.
IX. OPERACIÓN CON TREN DE PULSOS BIPOLARES
Hay aplicaciones en que se requiere aplicar campos
eléctricos alternos (pulsos bipolares) para evitar o mitigar los
efectos de realizar electrólisis en la carga. Además, hay
procesos de esterilización en los que aplicar sucesiva y
abruptamente pulsos con polaridad opuesta tiene efectos
equivalentes a la aplicación de pulsos de mayor tensión para
la ruptura de las membranas celulares [2], [4].
Por otra parte, aún cuando los pulsos bipolares no sean
estrictamente necesarios, aplicar una excitación de alterna
permite evitar el sistema de desmagnetización. Además, en
tal caso, la excursión de la excitación magnética es simétrica,
permitiendo un mejor aprovechamiento del núcleo
magnético que hace que el transformador resulte más
pequeño. El precio a pagar por esta ventaja es que el circuito
excitador tiene que ser un inversor en puente H (Fig. 8). Por
ende, se necesitarán cuatro interruptores de potencia en lugar
de uno (Fig.1).
Fig. 8. Circuito en puente H capaz de generar pulsos bipolares.
A. Comportamiento de los bobinados en alta frecuencia
En la Fig. 9 se observa un ejemplo de tren de pulsos
compuesto por seis pulsos de polaridad alternada.
La carga se supone puramente resistiva por lo que coincide
la forma de onda de la corriente con la de la tensión de la
salida (que no se dibuja).
Fig. 9. Formas de onda del tren de pulsos bipolares.
Se observa que hay simetría de función impar, por lo que
solamente se calcularán los coeficientes del desarrollo en
senos.
(55)
(56)
Empleando las identidades trigonométricas de los ángulos
dobles y triples se obtiene:
(57)
La amplitud de
tiene un máximo para
, y puede aproximarse
, o sea,
, correspondiente a una frecuencia
armónica:
(58)
Con (58) y (40) se calculará la profundidad de penetración
equivalente para el conductor a utilizar y usando la expresión
(A.4) del Apéndice se hallarán los factores de incremento de
las resistencias de continua para cada bobinado.
Ejemplo de cálculo:
Para un tren de pulsos como el de la Fig. 8 con
considerando
,
,
y
, se obtiene
y
. Con lo cual, según la Ec. (A.4) resultan:
y
.
Utilizando las ecuaciones aproximadas obtenidas para el
caso de pulso único (38), (40) y (42), se habría obtenido:
kHz ;
mm ;
CARGA
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y
.
Resultados similares a los anteriores (considerando lo
aproximado del procedimiento) lo que justificaría emplear
las ecuaciones obtenidas para el caso de pulso único como
estimación rústica para el diseño con múltiples pulsos.
B. Dimensionamiento del transformador
En la Fig. 9 se observa que al concluir el tren de pulsos
queda un valor residual de inducción magnética que debería
corresponder a una corriente de rueda libre circulante por los
transistores bajos (o por ambos altos) del puente "H" que
excita el transformador. Esta corriente no solamente generará
pérdidas innecesarias en el bobinado, sino que en caso de
disiparse la energía de magnetización, no habrá
magnetización residual y el primer pulso podría saturar al
circuito magnético. Para evitarlo se propone modificar la
forma del tren de pulsos, acortando el primer pulso y el
último a un ancho
, como se ilustra en la Fig. 10. De
esta manera, se garantiza que la inducción nunca supere al
valor
adoptado para el proyecto.
Fig. 10. Supresión de la magnetización residual.
Aplicando la ley de Faraday se obtiene la necesaria
modificación de la Ec. (1):
(59)
Empleando esta ecuación, (4) y (5) quedan:
(60)
(61)
Comparando (60) con (4) se constata que en el caso de
utilizar un puente H, el transformador resultará más pequeño.
X. EJEMPLO DE PROYECTO: TRANSFORMADOR CON NÚCLEO
DE MATERIAL AMORFO PARA PULSOS UNIPOLARES DE 40 µS,
260 V, 1000 A.
Se proyectará un transformador para un generador de
pulsos unipolares como el descripto en la Fig. 2 con las
siguientes especificaciones:
Tensión del bus de continua:
V
Tensión máxima secundaria:
V
Corrientes máximas primaria y secundaria:
.
Ancho máximo de pulso:
Número de pulsos del tren de pulsos: k = 4
Potencia activa primaria: 2500 W
Inducción magnética máxima:
= 1,2 T
Densidades de corriente de los tres bobinados:
Factor de ventana:
≥ 0,75
Factor de partición de la ventana:
0,5
Factores de llenado de ventana primario y secundario:
0,6 (bobinado con cinta)
Factor de llenado de ventana del bobinado de
desmagnetización
0,33 (bobinado con alambre)
Máximo valor de la tensión colector-emisor:
Sobre elevación de temperatura máxima respecto de la
temperatura ambiente:
.
Procedimiento de proyecto y desarrollo de los cálculos
En cada paso se adopta un valor que se utiliza de allí en
adelante en todas las fórmulas en las que esa variable
intervenga.
1) De (19) se tiene que la relación de transformación es 1.
2) Con (9) se obtiene el período de repetición del tren de
pulsos: T = 17 ms.
3) Mediante (10) se obtiene la corriente eficaz primaria: 97
A.
4) Con (4) se calcula la sección mínima necesaria para el
núcleo empleando como peor caso
, que
corresponde a una laminación tipo E sin desperdicio y
con sección cuadrada, obteniéndose un mínimo
necesario de 10,6 cm
2
. Se adopta un núcleo tipo C de
material amorfo AMCC-500 con una sección de 11,3
cm
2
, que se empleará en los cálculos que siguen. De la
hoja de datos del núcleo resulta:
y las
dimensiones correspondientes según la Fig. 6 son: A =
25 mm; B = 55 mm ; C = 40 mm ; H = 85 mm.
5) Empleando (5) se calcula el número de espiras del
primario y se redondea adoptando un valor mayor al
calculado. Se puede redondear a al valor entero superior
o a un valor que incluya "media vuelta". Si los
conductores del bobinado entran y salen por el mismo
lado del carrete la cantidad de espiras es un número
entero. Si por el contrario, el conductor del fin del
bobinado sale por la parte opuesta del carrete por donde
entró el conductor de comienzo de bobinado, se
considerará que hay media vuelta más (y el número de
espiras resultante será fraccionario en media espira). En
este caso, el número de espiras del primario se redondea
adoptando:
que es igual a la cantidad de espiras
del secundario. Se alojará el secundario entre dos
mitades del primario. Con esta configuración el número
de interfaces entre primario y secundario es:
.
6) Mediante (11), la inductancia de magnetización referida
al primario es 512 µH y con (13), el valor máximo
aproximado de la corriente de magnetización primaria
resulta 20 A.
7) Con (27) se calcula la cantidad de espiras del bobinado
de desmagnetización, adoptándose 11 espiras.
2
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8) Con (26) y (27) se obtiene el tiempo de
desmagnetización:
(61)
resultando
.
9) Con (28) se obtiene la corriente eficaz del bobinado de
desmagnetización que resulta 1,2 A y con esto puede
seleccionarse el alambre mediante la expresión:
(62)
adoptándose un alambre de 0,70 mm.
10) Basándose en el factor de llenado de ventana para el
bobinado de desmagnetización (
se obtiene el área
de ventana del bobinado de desmagnetización:
(63)
que resulta despreciable (20mm
2
).
11) Selección de los conductores: Descontando el área
ocupada por el bobinado de desmagnetización, resulta:
(64)
(65)
Se debe adoptar conductores comerciales cuya sección
sea igual o mayor a la calculada y luego se deberá
verificar que se cumplan las exigencias impuestas por el
efecto pelicular y el de proximidad.
Sin embargo, como en este caso particular la ventana de
bobinado del núcleo elegido es tres veces mayor que la
sección magnética, se prefiere adoptar el conductor en
base a la densidad de corriente especificada. Se adopta
un conductor formado por dos cintas de cobre apiladas
de 75 mm de ancho y espesor de 0,2 mm. Con lo cual es:
y resulta
. Con estos valores puede
verificarse que las densidades de corriente resultantes
son menores que las especificadas.
12) Con (38) se obtiene la frecuencia máxima a considerar,
que resulta 12,5 kHz. Luego, mediante (40) se obtiene
= 0,566 mm y puede constatarse que se
satisface la exigencia establecida por (41), por lo que el
efecto pelicular podrá despreciarse (
). Cuando
(41) no se satisface hay que subdividir el conductor en
varios.
13) Influencia del efecto de proximidad: Una vez asegurado
el cumplimiento de las exigencias relativas al efecto
pelicular se calcularán los factores de incrementos de
resistencia correspondientes a los bobinados primario y
secundario. Si estos factores resultaran excesivamente
grandes se deberá subdividir los bobinados en secciones
apiladas, o intentar rediseñar con un núcleo más grande
para reducir los números de espiras (primarios y/o
secundarios). Con (42) puede estimarse la influencia del
efecto de proximidad, calculando los factores de
incrementos de resistencia correspondientes a los
bobinados primario y secundario, que servirán para
calcular las pérdidas de Joule:
.
14) Con (15) se calcula la inducción magnética,
obteniéndose 1,15 T que resulta menor que el máximo
especificado.
15) Cálculo de las pérdidas por efecto Joule: Primero se
calcularán las resistencias de los bobinados en continua,
(66.a)
(66.b)
donde
y
están dados por (52.a) y (52.b). En
donde si se bobina con cinta es:
(67.a)
(67.b)
siendo:
: espesor total de la cinta primaria
: espesor de la cinta aislante primaria
: espesor del carrete
: espesor total de la cinta secundaria
: espesor de la cinta aislante secundaria
: espesor del separador entre bobinados
Se deberá verificar que sea:
.
El valor de
resulta:
y con (52.d) resulta:
.
Con estos valores se calcularán las resistencias de los
bobinados en continua, que en este caso son iguales:
y con (43) se obtienen las resistencias en alta frecuencia
.
Con lo cual pueden calcularse las pérdidas totales por
efecto Joule:
(68)
que resultan
W.
16) Considerando que C
b
es menor que C, se usa (50.c) para
calcular la superficie de disipación del bobinado, que
resulta 237 cm
2
. Aplicando (49) se obtiene una sobre
elevación de la temperatura en el carrete de 73
o
C.
Aunque no resulta mandatorio, se concluye que sería
conveniente prever ventilación forzada cuando se opere
a potencia máxima.
17) Con los datos del material magnético, usando (46), (47)
y (48) se calculan las pérdidas en el núcleo, obteniéndose
18,7 W. Con (51.b) se puede calcular la superficie de
disipación del núcleo obteniendo 300 cm
2
y aplicando
(49) se obtiene la sobre elevación de temperatura en el
núcleo, que resulta 49
o
C.
18) Usando (54) la inductancia total equivalente de fugas
resulta 0,13 µH.
19) Flanco de corriente de salida: Asumiendo que el flanco
de la corriente de salida será muy similar al flanco de la
corriente primaria, se puede trabajar con la constante de
tiempo R-L del primario
y siendo
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resulta:
(69)
lo que permite estimar un flanco de conmutación del
orden de 0,5 µs.
20) Estimación de la potencia a disipar en el "snubber":
La energía acumulada en la inductancia total equivalente
primaria de fugas antes de cada conmutación al bloqueo
es:
(70)
Habrá k conmutaciones por período T con lo cual, la
potencia a disipar en las resistencias del snubber será:
(71)
Si esta potencia es demasiado grande se puede subdividir
los bobinados en secciones, para que sea
o bien
usar un núcleo mayor para reducir
(la inductancia de
fugas crece con el cuadrado del número de espiras).
En el caso de imbricar secciones de bobinados primarios
y secundarios, las longitudes de espira media pueden
considerarse como aproximación iguales entre sí,
estando dadas por (52.c).
Con (71) se estima la potencia a disipar en el resistor del
"snubber" resultando 16 W.
21) Cálculo de la regulación: Para baja frecuencia, la
resistencia total equivalente según la simplificación de
Kapp, referida al secundario es:
(72)
La caída de tensión en esa resistencia cuando circule la
corriente máxima de pulso
será:
(73)
Para que la tensión real de salida sea la deseada, se
deberá modificar la relación de transformación
incrementando la cantidad de espiras del bobinado
secundario de manera tal que se obtenga la tensión
nominal secundaria en carga, de donde se deduce la
nueva relación de transformación:
(74)
Con esto se recalculará de ser necesario, el número de
espiras del secundario y si la cantidad de espiras
cambiase significativamente se deberá recalcular
.
La regulación será:
(75)
Con (72) se calcula la resistencia equivalente total
referida al secundario, que resulta 1,8 mΩ, lo que da una
caída de tensión de 1,8 V sobre ella y con (75) la
regulación resulta 0,7 %.
XI. CONCLUSIONES
Las ecuaciones propuestas permiten llegar a resultados de
proyecto aceptables con uno o pocos pasos de iteración.
Se presentó un ejemplo de cálculo correspondiente al caso
más habitual que es el de excitación asimétrica pero se
incluyeron las consideraciones a tener en cuenta cuando se
requieran pulsos bipolares, generalmente obtenidos
empleando un puente en H. Al respecto, cabe mencionar que
las ventajas de utilizar un puente H son:
1. Se logra un transformador más pequeño
2. Con igual núcleo existe la posibilidad de reducir el
número de espiras, bajando el número de capas,
mejorando así el desempeño del bobinado para las altas
frecuencias.
3. Eliminación del circuito de reset magnético.
4. Operación con menor tensión sobre el transistor, al no
adicionar la tensión de desmagnetización a la tensión de
la fuente primaria.
5. Posibilidad de efectuar conmutaciones suaves ZVS sin
agregar dispositivos auxiliares. Esto permite
incrementar el rendimiento de conversión y a la vez
reducir la complejidad y la potencia de los "snubbers".
6. Puede prevenirse fácilmente inyectar componente de
continua en la carga (obligatorio en ciertas aplicaciones).
Como contraparte, las desventajas de utilizar un puente son:
1. La necesidad de cuatro dispositivos por transformador,
o sea tres más que con comando asimétrico.
2. El requerimiento de circuitos de excitación ("drivers")
con aislación galvánica.
3. La presencia de una importante inyección de corriente
de Miller, que debe ser soportada por el otro dispositivo
que compone el mismo medio puente. Los circuitos de
excitación ("drivers") deberán estar preparados para
manejar esta situación.
4. La posibilidad de falla catastrófica por conducción
simultánea.
Por último, cabe destacar que en la mayoría de los diseños,
las pérdidas en el cobre terminan siendo dominantes, por lo
que es preciso prestar especial atención a la forma en que se
proyectan y construyen los bobinados.
XII. APÉNDICE: INFLUENCIA DEL EFECTO DE PROXIMIDAD
La única forma de reducir la incidencia del efecto de
proximidad es reducir el número de capas del bobinado.
Esto lleva a no incrementar la sección de los conductores
más allá del límite impuesto por el efecto pelicular.
En el caso de bobinar con cinta no debe incrementarse el
número de espiras más allá de lo estrictamente
imprescindible para limitar la corriente de magnetización
(
).
De acuerdo con el Apéndice III de la referencia [7] se
puede definir:
(A.1)
Si la distribución de campo es uniforme dentro de la
ventana se puede expresar ese factor como:
(A.2)
donde,
toma en cuenta el efecto pelicular y
el efecto
de proximidad.
Si para el bobinado "x" se cumple que
,
resultan:
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(A.3.a)
(A.3.b)
donde,
es el número de capas del bobinado "x", que por
estar bobinado con cinta coincide con el número de espiras.
De acuerdo con la ref. [10] si los bobinados están
subdivididos en varias secciones, se tomará
como el
número de capas a utilizar en la Ec. (A.3.b), siendo
el
número de interfaces entre primario y secundario. Ambos
números de capas, del primario y del secundario, deben
dividirse por
. Así, la expresión para tomar en cuenta el
efecto de proximidad resulta:
(A.3.c)
Para cada componente armónica de orden k de la corriente
que circule por un bobinado "x " habrá una resistencia dada
por:
(A.4)
donde se consideró que para todos los armónicos que se van
a tomar en cuenta siempre se satisface la condición
y resulta
.
En la Ec. (A.4),
es la profundidad de penetración
correspondiente a la frecuencia de la componente armónica
de orden k . O sea:
(A.5)
donde,
siendo T el período de repetición del
pulso.
De acuerdo con la Ec. (36) la potencia perdida por cada
componente armónica será:
(A.6)
Para la componente fundamental es y se obtiene:
(A.7)
Siendo
se puede reemplazar por , con
lo cual la Ec. (A.7) queda:
(A.8)
Por su parte, para la componente fundamental, en la Ec.
(A.4) es
y resulta:
(A.9)
Por lo tanto, la Ec. (A.8) queda:
(A.10)
Con las ecuaciones (A.4) (A.6) y (A.10) se obtiene:
(A.11)
En la Ec. (A.11) aparece una función
donde:
y para
se tiene que
con lo cual
.
Como simplificación, hasta ese valor límite se considerará
plana e igual a 1 a la función sinc, por lo que la expresión
de las pérdidas quedará:
(A.12)
válida solamente para:
(A.13)
De la ec. anterior se deduce:
(A.14)
y la frecuencia máxima a considerar será:
(A.15)
donde ,
.
Sustituyendo la Ec. (A.5) en la (A.12) se obtiene:
(A.16)
donde,
(A.17)
Sustituyendo (A.17) en la (A.16):
(A.18)
La potencia total perdida en el bobinado X será:
(A.19)
La Ec. (A.19) puede descomponerse en:
(A.20)
donde,
(A.21.a)
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y la serie potencial da:
(A.21.b)
Como
la Ec. (A.21.b) resulta:
(A.21.c)
Sustituyendo (A.21.a) y (A.21.c) en la Ec. (A.20) y
utilizando la Ec. (A.15) junto con la definición (39) se
obtiene:
(A.22)
donde:
(A.23)
Con las ecuaciones (A.10), (A.14) y (A.22) se obtiene:
(A.24)
donde
hubiesen sido las pérdidas calculadas si no
se hubiesen considerado los efectos peliculares y de
proximidad.
Se define el factor de relación de pérdidas de alterna
respecto de las de continua como:
(A.25)
y normalmente será,
, por lo cual puede
simplificarse:
(A.26)
factor para estimar el valor de las resistencias de los
bobinados en el cálculo de las pérdidas por efecto Joule.
AGRADECIMIENTOS
Este trabajo ha sido parcialmente financiado con el
subsidio UBACYT 20020170100386BA de la Universidad
de Buenos Aires, titulado "Estructuras y técnicas de
simulación y control para convertidores estáticos y
generadores de pulsos".
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