An
´
alisis de la reflexi
´
on de ondas
electromagn
´
eticas a trav
´
es de placas paralelas
is
´
otropas
Analysis of Electromagnetic Wave Reflection through Isotropic Parallel Plates
German Caro
1
, Eduardo Acosta
Liliana Perez
Francisco Veiras
Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ingenier
´
ıa.
Grupo de L
´
aser,
´
Optica de Materiales y Aplicaciones Electromagn
´
eticas. Buenos Aires, Argentina.
Consejo Nacional de Investigaciones Cient
´
ıficas y T
´
ecnicas, (CONICET)
Godoy Cruz 2290, C1425FQB, Buenos Aires, Argentina
1
gcaro@fi.uba.ar
Resumen—Este estudio se enfoca en la reflexi
´
on de ondas
electromagn
´
eticas a trav
´
es de placas paralelas isotr
´
opicas
utilizando el m
´
etodo interferom
´
etrico, en lugar de tratar el
sistema como un todo y resolverlo con las condiciones de
contorno. Esto consiste en considerar cada una de las m
´
ultiples
reflexiones que se dan en este tipo de sistemas, de forma de
obtener un desarrollo con distintos t
´
erminos que convergan
a la soluci
´
on exacta. As
´
ı buscamos examinar si las primeras
reflexiones son suficientes para una buena aproximaci
´
on.
Se derivaron expresiones para los coeficientes de reflexi
´
on
para polarizaciones paralelas (p) y perpendiculares (s). Los
resultados muestran que considerar solo la primera reflexi
´
on
no es una buena aproximaci
´
on, pero si lo es considerar los
primeros dos t
´
erminos.
Palabras clave: is
´
otropos; reflexi
´
on de ondas; placas
plano-paralelas.
Abstract—This study focuses on the reflection of
electromagnetic waves through isotropic parallel plates
using the interferometric method, instead of treating the
system as a whole and solving it with boundary conditions.
This involves considering each of the multiple reflections
that occur in these types of systems to obtain a development
with different terms that converge to the exact solution.
Thus, we aim to examine whether the initial reflections alone
are sufficient for a good approximation. Expressions for
the reflection coefficients for parallel (p) and perpendicular
(s) polarizations were derived. The results demonstrate
that relying solely on the first reflection is not a suitable
approximation, whereas considering the first two terms proves
to be accurate.
Keywords: isotropic; wave reflection; plane-parallel plate.
I. INTRODUCCI
´
ON
Las ondas planas que inciden en una interfaz que separa
dos medios diel
´
ectricos generan campos reflejados y trans-
mitidos que pueden calcularse a partir de la ecuaci
´
on de
Snell y las condiciones de contorno [1]. Esta premisa se
mantiene en el caso de sistemas multicapas y en particular
en el caso de una placa diel
´
ectrica inmersa entre dos medios
diel
´
ectricos. Sin embargo, se nos presenta otra opci
´
on para
este
´
ultimo escenario: podemos considerar que la onda plana
se refleja y transmite infinitas veces y sumar cada una de
estas contribuciones [2] [3]. El m
´
etodo interferom
´
etrico nos
permite visualizar la relevancia de cada t
´
ermino en la serie
de reflexiones y transmisiones [4]. De esta manera se puede
emplear los cambios en la intensidad de la luz reflejada y/o
transmitida para obtener las caracter
´
ısticas de los materiales
involucrados [5]. En este trabajo se analiza cu
´
antos t
´
erminos
son necesarios para obtener una buena aproximaci
´
on en el
m
´
odulo del coeficiente de reflexi
´
on.
Este estudio tiene inter
´
es tecnol
´
ogico para el dise
˜
no de
sensores [6] y la selecci
´
on de los par
´
ametros constructivos
[7] [8], como son las caracter
´
ısticas de los medios, espesor
de la placa o
´
angulo de incidencia. Si alguno de los
par
´
ametros no es conocido resulta dif
´
ıcil a partir de medi-
ciones experimentales calcularlo. Con estas aproximaciones
intentamos disminuir la dificultad de resolver el problema
inverso [9] y poder as
´
ı hallar configuraciones que permitan
tener una mayor sensibilidad a peque
˜
nos cambios en uno de
los medios.
II. REFLEXI
´
ON Y REFRACCI
´
ON EN INTERFACES
IS
´
OTROPAS
En una interfaz entre dos medios distintos, las compo-
nentes tangenciales de los campos
E y
H en la interfaz son
continuas, as
´
ı como las componentes normales de
D y
B. Si
la normal a la interfaz es ˆn, estas condiciones de continuidad
pueden escribirse de la siguiente manera:
(
D
2
D
1
).ˆn = 0 (1)
(
B
2
B
1
).ˆn = 0 (2)
ˆn × (
E
2
E
1
) = 0 (3)
ˆn × (
H
2
H
1
) = 0 (4)
donde el supra
´
ındice 1 indica a los campos en el medio
desde el que incide la onda y el supra
´
ındice 2 a los campos
transmitidos. A partir de ellas se obtiene que en general
al incidir una onda desde un medio is
´
otropo con
´
ındice
de refracci
´
on n
1
y velocidad de fase u
1
a uno de
´
ındice
de refracci
´
on n
2
y velocidad de fase u
2
habr
´
a una onda
reflejada y una transmitida. A partir de ellas se obtiene
Revista elektron, Vol. 7, No. 2, pp. 71-76 (2023)
ISSN 2525-0159
71
Recibido: 18/11/23; Aceptado: 14/12/23
Creative Commons License - Attribution-NonCommercial-
NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0)
https://doi.org/10.37537/rev.elektron.7.2.187.2023
Original Article
tambi
´
en que la frecuencia ω es la misma en ambos medios
(condici
´
on de igualdad de fases) [10],
ω
1
= ω
2
(5)
Adem
´
as, se obtiene que el
´
angulo formado por el rayo
reflejado y la normal a la interfaz es igual al formado por
el rayo incidente y la normal.
En cambio, para el
´
angulo de refracci
´
on β formado por el
rayo transmitido y la normal, se tiene que
´
este se relaciona
con el
´
angulo de incidencia a partir de la conocida Ley de
Snell [10],
n
2
senβ = n
1
senα (6)
z
x
a
E
p
E
s
Figura 1. Sistema de coordenadas. El plano yz representa a la interfaz
plana. El plano de incidencia est
´
a caracterizado por δ.
ˆ
S rayo incidente,
ˆ
S
rayo reflejado y
ˆ
S
T
rayo transmitido.
El rayo reflejado es el que vuelve hacia el mismo medio
de incidencia formando el mismo
´
angulo que el incidente
con la normal a la interfaz pero en direcci
´
on al semiplano
opuesto. El rayo refractado o transmitido es el que se
propaga con la direcci
´
on dada por la Ley de Snell hacia
el segundo medio.
Para calcular los campos asociados a las ondas reflejadas
y refractadas deber
´
an utilizarse las condiciones de contorno
(1)-(4). Llamando
ˆ
S a la normal al frente de onda de la
onda incidente, las componentes de los campos el
´
ectrico y
magn
´
etico est
´
an relacionados por
E.ˆx =
ˆ
S.ˆy
ˆ
S.ˆx
E.ˆy
ˆ
S.ˆz
ˆ
S.ˆx
E.ˆz (7)
H.ˆx =
1
µϵ
(
ˆ
S.ˆz)(
E.ˆy) (8)
H.ˆy =
1
µϵ
(
ˆ
S.ˆx)(
E.ˆz) + (
ˆ
S.ˆz)
ˆ
S.ˆy
ˆ
S.ˆx
E.ˆy +
ˆ
S.ˆz
ˆ
S.ˆx
E.ˆz

(9)
H.ˆz =
1
µϵ
(
ˆ
S.ˆx)(
E.ˆy) (10)
Como S
2
x
+ S
2
y
+ S
2
z
= 1, se puede escribir la relaci
´
on
entre las componentes del vector n
´
umero de onda
k
2
x
+ k
2
y
+ k
2
z
= µ
v
ω
2
ϵ
1
(11)
donde µ
v
es la permeabilidad magn
´
etica del vac
´
ıo. Con el
objeto de hacer m
´
as sencillo el c
´
alculo de los coeficientes
de reflexi
´
on y transmisi
´
on consideraremos que la incidencia
se produce en el plano x, z. De esta forma, el modo de
polarizacion s corresponder
´
a a que el campo el
´
ectrico inci-
dente tenga solo componente y, y el modo de polarizaci
´
on
p tendr
´
a solo componentes x y z (fig 2).
De la continuidad de las componentes normales del campo
Figura 2. Diagrama de las ondas y campos reflejados y transmitidos para
ambos modos de polarizaci
´
on.
diel
´
ectrico
D y el campo magn
´
etico
B y de la componente
tangencial de
E:
D.ˆx +
D
.ˆx =
D
T
.ˆx (12)
E.ˆy +
E
.ˆy =
E
T
.ˆy (13)
E.ˆz +
E
.ˆz =
E
T
.ˆz (14)
H.ˆy +
H
.ˆy =
H
T
.ˆy (15)
donde los campos con asterisco se refieren a los reflejados
y con el supra
´
ındice T a los refractados. Estas condiciones
permiten determinar los campos reflejados y transmitidos.
III. COEFICIENTES DE REFLEXI
´
ON Y TRANSMISI
´
ON
Si se incide con una onda monocrom
´
atica con polari-
zaci
´
on s (Fig. 2), a partir de las condiciones de contorno
ecs. (12), (13), (14) y (15) la relaci
´
on entre los campos
incidentes, reflejados y transmitidos resulta [3] [11]
E.ˆe
s
= (
E.ˆy).ˆy (16)
R
s
E
.ˆy
E.ˆy
=
E
y
E
y
=
k
x
k
T
x
k
x
+ k
T
x
(17)
T
s
E
T
.ˆy
E.ˆy
=
E
t
y
E
y
=
2k
x
k
x
+ k
T
x
(18)
donde R
s
y T
s
son los coeficientes de reflexi
´
on y transmi-
si
´
on para el modo perpendicular y
k
2
x
+ k
2
z
= µ
v
ω
2
ϵ
1
(19)
k
T
x
2
+ k
2
z
= µ
v
ω
2
ϵ
2
(20)
Si, en cambio la onda incidente tiene solo polarizaci
´
on p
E
p
= (
E.ˆx)ˆx + (
E.ˆz)ˆz (21)
De la Fig. (2)
E
p
= −|
E
p
|senαˆx + |
E
p
|cosαˆz (22)
E
p
= −|
E
p
|senαˆx |
E
p
|cosαˆz (23)
E
T
p
= −|
E
T
p
|senβ ˆx + |
E
T
p
|cosβˆz (24)
Revista elektron, Vol. 7, No. 2, pp. 71-76 (2023)
ISSN 2525-0159
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