El Sistema Internacional de Unidades
y las Mediciones El
´
ectricas
The International System of Units and the Electrical Measurements
Marcos E. Bierzychudek
†
y H
´
ector Laiz
∗
†
Instituto Nacional de Tecnolog
´
ıa Industrial y Universidad Nacional de Moreno
Av. General Paz 5445, San Mart
´
ın, Bs. As. Argentina
marcosb@inti.gob.ar
∗
Instituto Nacional de Tecnolog
´
ıa Industrial y Universidad Nacional de San Mart
´
ın
Av. General Paz 5445, San Mart
´
ın, Bs. As. Argentina
laiz@inti.gob.ar
Abstract—We constantly use the results of measurements
to trade, to take decisions, to reach compatibility between
elements or to evaluate risks. The International System of
Units (SI) is essential to express these results in a clear and
comparable way. The SI is part of a diplomatic convention
whose objective is to achieve international compatibility for
trade, science, and sustainable development. Recently, a new
definition of the SI has been approved, in which the system is
defined in terms of seven reference constants whose numerical
values are established by convention. In this way, the kilogram
is disconnected from an artifact, the ampere from a theoretical
experiment, and the kelvin and mole leave the definitions based
on the property of a substance. Now, all the units of the system
can be derived from the reference constants. The aim of this
redefinition is to reach long-term stability, consistency, and
coherence of the system, and to create a formal framework
that fosters the growth of science and technology.
This article focuses on the effects of redefinition in electrical
units.
Keywords: base units; International System of Units;
measurements; metrology; reference constants.
Resumen—Constantemente utilizamos los resultados de
medidas para comercializar, tomar decisiones, compatibilizar
elementos o valorar riesgos. El Sistema Internacional de
Unidades (SI) es imprescindible para expresar los resultados
de manera clara y comparable. El SI es el resultado
de una convenci
´
on diplom
´
atica cuyo objetivo es lograr
la compatibilidad internacional de las mediciones para el
comercio, la ciencia y el desarrollo sustentable. Recientemente,
se aprob
´
o una nueva definici
´
on del SI, en la cual el sistema
es definido en t
´
erminos de siete constantes de referencia cuyo
valor num
´
erico es establecido por convenci
´
on. De esta manera,
se dej
´
o de lado la definici
´
on del kilogramo basada en un
artefacto, la definici
´
on del ampere basada en un experimento
te
´
orico, y la definici
´
on del kelvin y del mol basadas en
propiedades de sustancias. Ahora, cualquier unidad del
sistema puede ser derivada a partir de las constantes de
referencia. Esta redefinici
´
on tiene como objetivo la estabilidad
a largo plazo, la consistencia y la coherencia del sistema,
adecu
´
andose a las necesidades de los usuarios y brindado un
marco formal para potenciar el crecimiento de la ciencia y la
tecnolog
´
ıa.
En este art
´
ıculo, se dar
´
a especial atenci
´
on a los efectos de
la redefinici
´
on en las unidades el
´
ectricas.
Palabras claves: constantes de referencia; mediciones;
metrolog
´
ıa; Sistema Internacional de Unidades; unidades de
base.
I. INTRODUCCI
´
ON
A partir del 20 de mayo del 2019, el sistema Internacional
de Unidades (SI) es definido con siete constantes de refe-
rencia, cuyos valores num
´
ericos son fijos por convenci
´
on.
Ellas son: la frecuencia de la transici
´
on entre los niveles
hiperfinos del estado fundamental no perturbado del
´
atomo
de cesio 133 (∆ν
Cs
), la velocidad de la luz en el vac
´
ıo
(c), la constante de Planck (h), la carga elemental (e), la
constante de Boltzmann (k), la constante de Avogadro (N
A
)
y la eficacia luminosa de la radiaci
´
on monocrom
´
atica de
frecuencia 540 × 10
12
Hz (K
cd
).
El SI basado en constantes de referencia permite que
las definiciones de las unidades sean independientes de
artefactos, sustancias o experimentos particulares. Adem
´
as,
las constantes son inherentemente estables, no dependen de
par
´
ametros externos, como la temperatura ambiental, y no
tienen variaci
´
on temporal. Por esta raz
´
on, las definiciones
basadas en constantes de referencia no introducen un l
´
ımite
en la exactitud de la unidad, sino la tecnolog
´
ıa disponible.
Nuevos y alternativos m
´
etodos pr
´
acticos para mejorar la
trazabilidad a cualquier unidad, m
´
ultiplo o subm
´
ultiplo
podr
´
an ser utilizados, en cualquier parte del mundo y sin
la necesidad de modificar el SI.
La trazabilidad se garantiza estableciendo un enlace entre
las definiciones y la implementaci
´
on pr
´
actica. Dicho proceso
se denomina realizar la unidad y permite establecer el valor
de una magnitud de la misma naturaleza que la unidad de
manera consistente con su definici
´
on. Pueden existir distin-
tos m
´
etodos para la realizaci
´
on de las unidades, aquellos que
lo logran independientemente de una magnitud de la misma
naturaleza y con la menor incertidumbre son denominados
patrones primarios [1].
La gran mayor
´
ıa de los usuarios no notar
´
an la discon-
tinuidad en los valores de las magnitudes originada por el
cambio de definici
´
on, y en aquellos casos que se afecta el
valor de las unidades los efectos ser
´
an observables por los
institutos que cuenten con los patrones de mayor jerarqu
´
ıa,
por ejemplo los Institutos Nacionales de Metrolog
´
ıa (INM).
Recibido: 12/05/19; Aceptado: 18/06/19
Revista elektron, Vol. 3, No. 2, pp. 91-102 (2019)
ISSN 2525-0159
91
II. UN SISTEMA BASADO EN CONSTANTES DE
REFERENCIA
Las propiedades de los materiales, fen
´
omenos o sustancias
que pueden ser expresadas cuantitativamente son denomi-
nadas magnitudes y se expresan como el producto de un
n
´
umero y una referencia, la cual puede ser una unidad
de medida, un material de referencia o un procedimiento
de medida. En todos los casos, el n
´
umero representa una
relaci
´
on entre la magnitud y la referencia, siendo ambas
de la misma naturaleza. Entonces, se puede interpretar a la
unidad como un caso particular de la magnitud, definida y
adoptada por convenio [1].
Para definir una unidad se debe establecer un valor
num
´
erico fijo para la relaci
´
on entre una magnitud, que
se debe considerar invariante, y la unidad. Como ejemplo
se puede analizar la definici
´
on previa del kilogramo, “El
kilogramo es la masa del prototipo internacional del kilo-
gramo” [2]. En la misma se estableci
´
o un valor num
´
erico
fijo de la relaci
´
on igual a 1 y por convenci
´
on se acept
´
o
que la masa del prototipo internacional del kilogramo era
“constante”. Esta es una consideraci
´
on sin fundamentos
cient
´
ıficos, y con car
´
acter particular, local y temporal, ya
que solo puede existir un kilogramo patr
´
on disponible du-
rante algunas campa
˜
nas de medici
´
on, ver Fig. 1. Adem
´
as,
la definici
´
on previa involucra que toda la trazabilidad a
unidades de masa o derivadas deb
´
ıa empezar en el valor de
1 kg, generando largas cadenas de trazabilidad. En cambio,
con la definiciones basadas en constantes es posible lograr
la trazabilidad directamente al valor de inter
´
es, en cualquier
instituto del mundo y en cualquier momento.
Fig. 1. Prototipo internacional del kilogramo que se conserva desde el
a
˜
no 1889 en el Bureau International des Poids et Mesures - BIPM. Es
un cilindro con di
´
ametro y altura de aproximadamente 39 mm, y de una
aleaci
´
on de 90% platino y 10% iridio. Foto cortes
´
ıa del BIPM.
En el Sistema Internacional de Unidades aprobado en
2018 se especifica el valor num
´
erico exacto de siete cons-
tantes de referencia cuando est
´
an expresadas en las co-
rrespondientes unidades del SI. Entonces, fijando el valor
num
´
erico de cada constante queda definida la unidad ya
que el producto de ambos es igual a la magnitud de la
constante, que se considera invariante. Por ejemplo, al fijar
el valor num
´
erico de la contante h se fija la unidad J s, que
es equivalente a kg m
2
s
−1
.
Los valores num
´
ericos de las constantes de referencia
fueron determinados por el Committee on Data for Science
and Technology (CODATA), el cual recomienda cada cuatro
a
˜
nos los valores num
´
ericos para las constantes de la F
´
ısica
y la Qu
´
ımica a partir de realizar un ajuste de cuadrados
m
´
ınimos basado en los resultados de los experimentos con
mejor incertidumbre. En el a
˜
no 2017 se realiz
´
o un ajuste
no peri
´
odico para determinar los valores num
´
ericos de las
constantes de referencia h, e, k y N
A
a partir de los
resultados publicados antes de julio de 2017, ver tabla I [3].
Los valores de las constantes c, ∆ν
Cs
y K
cd
no fueron
calculados porque se fijaron previamente. A partir de la
redefinici
´
on, los valores de las constantes de referencia son
par
´
ametros fijos del ajuste realizado por CODATA y en
consecuencia, otras constantes son calculadas.
TABLA I
VALORES DE LA CONSTANTE DE PLANCK, LA CARGA DEL ELECTR
´
ON,
LA CONSTANTE DE BOLTZMAN Y DEL N
´
UMERO DE AVOGADRO
INFORMADOS EN EL AJUSTE REALIZADO POR CODATA EN EL A
˜
NO
2017.
Magnitud Valor ajustado Incertidumbre
relativa del ajuste
h 6,626 070 150(69) x 10
−34
J s 1,0 x 10
−8
e 1,602 176 634 1(83) x 10
−19
C 5,2 x 10
−9
k 1,380 649 03(51) x 10
−23
J K
−1
3,7 x 10
−7
N
A
6,022 140 758(62) x 10
23
mol
−1
1,0 x 10
−8
A. El sistema Internacional de Unidades
A partir del 20 de mayo de 2019 el Sistema Internacional
de Unidades se define como el sistema de unidades para el
cual:
• la frecuencia de la transici
´
on entre los niveles hiperfinos
del estado fundamental no perturbado del
´
atomo de
cesio 133, ∆ν
Cs
, es 9 192 631 770 Hz,
• la velocidad de la luz en el vac
´
ıo, c, es
299 792 458 m/s,
• la constante de Planck, h, es 6, 626 070 15× 10
−34
J s,
• la carga elemental, e, es 1, 602 176 634 × 10
−19
C,
• la constante de Boltzmann, k, es 1, 380 649 ×
10
−23
J/K,
• la constante de Avogadro, N
A
, es 6, 022 140 76 ×
10
23
mol
−1
,
• la eficacia luminosa de una radiaci
´
on monocrom
´
atica
de frecuencia 540 × 10
12
Hz, K
cd
, es 683 lm/W,
donde, el hertz (Hz), joule (J), coulomb (C), lumen (lm) y
watt (W) son definidos en t
´
erminos de las unidades segundo
(s), metro (m), kilogramo (kg), ampere (A), kelvin (K), mol
(mol) y candela (cd), de acuerdo con Hz = s
−1
, J = m
2
kg
s
−2
, C = A s, lm = cd m
2
m
−2
= cd sr, y W = m
2
kg s
−3
.
Notar que las incertidumbres presentadas en la tabla I no
son consideradas ya que los valores num
´
ericos se consideran
exactos.
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B. Las unidades de base
Las definici
´
on del SI basada en constantes de referen-
cia permite que cualquier unidad del sistema pueda ser
obtenida como el producto de potencias de las constantes
de referencia y un factor adimensional. Esta es una gran
ventaja del sistema actual que se obtuvo al desconectar
las definiciones de las unidades de su realizaci
´
on. Por lo
tanto, no es necesario establecer un conjunto de unidades de
base, sin embargo se mantienen con el objetivo de facilitar
la comprensi
´
on y la transici
´
on entre sistemas. La Fig. 2
representa esta ventaja ubicando a las constantes cerca del
centro y a las unidades de base en el exterior.
Fig. 2. Logotipo representativo del SI aprobado en 2018, se pueden
observar en el circulo interior las constantes de referencia que sirven como
pilares para las unidades de base indicadas en el exterior.
Las definiciones de las siete unidades de base son expre-
sadas uniformemente utilizando una formulaci
´
on en la cual
se refiere directamente al valor num
´
erico de la constante de
la cual depende.
• El segundo, cuyo s
´
ımbolo es s, es la unidad de tiempo
del SI. Se lo define estableciendo el valor num
´
erico
fijo de la frecuencia del cesio, ∆ν
Cs
, la frecuencia
de la transici
´
on entre niveles hiperfinos del estado
fundamental no perturbado del
´
atomo de cesio 133,
igual a 9 192 631 770 cuando es expresada en unidad
de Hz, que es igual a s
−1
.
• El metro, cuyo s
´
ımbolo es m, es la unidad de longitud
del SI. Se lo define estableciendo el valor num
´
erico
fijo de la velocidad de la luz en el vac
´
ıo, c, igual
a 299 792 458 cuando es expresada en unidades de
m s
−1
, donde el segundo es definido en t
´
erminos de
∆ν
Cs
.
• El kilogramo, cuyo s
´
ımbolo es kg, es la unidad de masa
del SI. Se lo define estableciendo el valor num
´
erico fijo
de la constante de Planck, h, igual a 6, 626 070 15 ×
10
−34
cuando es expresada en unidades de J s, que es
igual a kg m
2
s
−1
, donde el metro y el segundo son
definidos en t
´
erminos de c y ∆ν
Cs
.
• El ampere, cuyo s
´
ımbolo es A, es la unidad de co-
rriente el
´
ectrica del SI. Se lo define estableciendo el
valor num
´
erico fijo de la carga elemental, e, igual
a 1, 602 176 634 × 10
−19
cuando es expresada en
unidades de A s, donde el segundo es definido en
t
´
erminos de ∆ν
Cs
.
• El kelvin, cuyo s
´
ımbolo es K, es la unidad de tempera-
tura termodin
´
amica del SI. Se lo define estableciendo
el valor num
´
erico fijo de la constante de Boltzmann,
k, igual a 1, 380 649 × 10
−23
cuando es expresada
en unidades de J K
−1
, que es igual a kg m
2
s
−2
K
−1
,
donde el kilogramo, el metro y el segundo son definidos
en t
´
erminos de h, c y ∆ν
Cs
.
• El mol, cuyo s
´
ımbolo es mol, es la unidad de cantidad
de sustancia (o materia) del SI. Un mol contiene exac-
tamente 6, 022 140 76 × 10
23
entidades elementales.
Este n
´
umero es el valor num
´
erico fijo de la constante
de Avogadro, N
A
, cuando es expresada en unidades
de mol
−1
y es llamado el n
´
umero de Avogadro. La
cantidad de sustancia, s
´
ımbolo n, de un sistema es una
medida del n
´
umero de entidades elementales especifi-
cadas. Una entidad elemental puede ser un
´
atomo, una
mol
´
ecula, un ion, un electr
´
on, o cualquier otra part
´
ıcula
o grupo espec
´
ıfico de part
´
ıculas.
• La candela, cuyo s
´
ımbolo es cd, es la unidad de
intensidad luminosa del SI en una dada direcci
´
on.
Se la define estableciendo el valor num
´
erico fijo de
la eficacia luminosa de una radiaci
´
on monocrom
´
atica
con frecuencia 540 × 10
12
Hz, K
cd
, igual a 683,
cuando es expresada en las unidades lm W
−1
, que son
equivalentes a cd sr W
−1
, o cd sr kg
−1
m
−2
s
3
, donde
el kilogramo, el metro y el segundo son definidos en
t
´
erminos de h, c y ∆ν
Cs
.
1
III. RAZONES Y EFECTOS DE LA REDEFINICI
´
ON
La comunidad internacional cient
´
ıfica dedic
´
o muchos
recursos y tiempo al establecimiento de las definiciones y
al desarrollo de los m
´
etodos de realizaci
´
on. La redefinici
´
on
se retras
´
o hasta poder garantizar niveles de incertidumbre
comparables con los obtenidos mediante las realizaciones
previas. Para la gran mayor
´
ıa de las aplicaciones este cambio
pasar
´
a inadvertido y en aquellos casos donde se deben
aplicar correcciones en los valores o modificaciones en los
m
´
etodos, ser
´
a solo apreciable por los usuarios que deman-
dan menores incertidumbres. Los efectos pueden analizarse
por
´
area de trabajo que depende de una unidad de base
redefinida, primero se explicar
´
a los efectos de la redefinici
´
on
del ampere y luego se presentan los casos del kelvin, el mol
y el kilogramo.
A. El ampere
En el a
˜
no 1948 se adopt
´
o una definici
´
on del ampere
basada en un experimento te
´
orico cuyo objetivo fue rela-
cionar las unidades el
´
ectricas con las unidades mec
´
anicas.
La Fig. 3 presenta un esquema de dicho experimento que
es explicado con la propia definici
´
on de 1948 de la unidad
ampere.
El ampere es la corriente el
´
ectrica constate que,
mantenida en dos conductores paralelos, rec-
til
´
ıneos, de longitud infinita, de secci
´
on circular
1
El s
´
ımbolo lm corresponde al lumen, que es la unidad de flujo luminoso
del SI, y el s
´
ımbolo sr corresponde al estereorradi
´
an, que es la unidad de
´
angulo s
´
olido.
Revista elektron, Vol. 3, No. 2, pp. 91-102 (2019)
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despreciable y ubicados a una distancia de 1 m
entre si, en el vac
´
ıo, producir
´
ıa entre ellos, por
unidad de longitud de conductor, una fuerza de
2 × 10
−7
newton [2].
Fig. 3. Esquema del experimento te
´
orico aprobado en 1948 para definir
la unidad ampere.
~
B es el campo magn
´
etico generado por el cable.
El objetivo de esta definici
´
on fue establecer un valor
para las unidades el
´
ectricas e implic
´
o que la constante
magn
´
etica, tambi
´
en denominada permeabilidad magn
´
etica
del vac
´
ıo, tenga un valor num
´
erico fijo [4], [5]. Sin embargo,
la definici
´
on no especificaba una puesta en pr
´
actica dada
para el ampere, sino que se pod
´
ıa realizar vinculando las
unidades el
´
ectricas y mec
´
anicas mediante las leyes del
electromagnetismo [6]. En aquellos tiempos, para poner
en pr
´
actica las unidades el
´
ectricas se necesitaba enlazar al
menos dos de ellas a las unidades mec
´
anicas, t
´
ıpicamente
se utilizaban patrones de tensi
´
on y de resistencia para luego
derivar cualquier otra unidad, por ejemplo el ampere se
pod
´
ıa obtener a partir de la ley de Ohm. La unidad de tensi
´
on
el
´
ectrica se realizaba con la balanza del volt electrost
´
atica
y se manten
´
ıa con pilas patrones de Weston, ver Fig. 4.
Mediante estos m
´
etodos el acuerdo entre los distintos pa
´
ıses
estaba en el orden de 1 µV/V [7].
Fig. 4. Se presenta una pila de Weaston y una referencia de tensi
´
on
basada en un diodo zener. La primera era utilizada antiguamente para
mantener la unidad de tensi
´
on el
´
ectrica. Posee gran estabilidad a largo
plazo pero son muy sensibles a la temperatura y su resistencia de salida
es del orden de 500 Ω. La referencia de tensi
´
on fotografiada es la LM399
de Linear Technology (ahora Analog Device). La misma posee un control
de temperatura interno que resulta en un coeficiente de temperatura de
0, 5 µV/K. Son muy utilizadas para instrumentos de hasta 6,5 d
´
ıgitos. En
el fondo se muestra un patr
´
on secundario de tensi
´
on basado en un diodo
zener.
El ohm se sol
´
ıa obtener mediante un puente de cuadratura
[8], que permite comparar capacidad con resistencia, y a
partir del farad realizado con un capacitor calculable. Este
m
´
etodo se basa en el teorema de Thompson-Lampard por
el cual es posible determinar la capacidad de una geometr
´
ıa
determinada a partir de una medici
´
on de longitud [9]. La
unidad de resistencia se manten
´
ıa con resistores bobinados
de manganina, cuya exactitud era mejor a 1 µΩ/Ω cuando
estaban t
´
ermicamente estabilizados.
Fig. 5. (Izquierda) Resistores patrones del INTI de 1 Ω tipo Thomas,
modelo 4210 marca Leeds & Northrup, sumergido en un ba
˜
no de aceite
t
´
ermicamente controlado. En el INTI se posee 6 elementos de este tipo
que con m
´
as de 30 a
˜
nos de historia y han demostrado una estabilidad en el
orden de 0, 1 µΩ/Ω. (Derecha) Capacitor calculable del BIPM, se pueden
observar las barras donde se aplica el teorema de Thompson-Lampard. Foto
cortes
´
ıa del BIPM.
Es interesante notar que la unidad de base ampere nunca
fue en realidad el centro de las unidades el
´
ectricas, ya que
los patrones secundarios de tensi
´
on y resistencia siempre
fueron superiores a sus equivalentes de corriente. Este
esquema se observa tambi
´
en en la actualidad, por ejemplo
las referencias de tensi
´
on de estado s
´
olido poseen mejores
caracter
´
ısticas que las de corriente. Adem
´
as, los m
´
etodos
para materializar el volt y el ohm han evolucionado mucho
y ofrecen insuperables caracter
´
ısticas.
En el a
˜
no 1962 Brian D. Josephson predijo un efecto que
luego llevar
´
ıa su nombre y por el cual se puede relacionar la
tensi
´
on el
´
ectrica con una frecuencia a trav
´
es de la constante
de Planck y de la carga del electr
´
on [10]. Esto permiti
´
o
reducir en tres ordenes de magnitud las diferencias entre
las representaciones nacionales de tensi
´
on continua [7]. La
f
´
ısica cu
´
antica brind
´
o un nuevo efecto fundamental en el a
˜
no
1980, cuando Klaus von Klitzing logr
´
o observar por primera
vez el efecto Hall cu
´
antico, mediante el cual se establece un
valor de resistencia que depende de las constates h y e [11].
En aquellos a
˜
nos, estas constantes eran determinadas en
relaci
´
on al SI por CODATA con incertidumbres superiores a
la repetibilidad de los efectos. Entonces, en el a
˜
no 1990, el
CIPM (Comit
´
e International des Poids et Mesures) adopt
´
o
valores num
´
ericos fijos para las constantes de Josephson
(K
J−90
= 2e
90
/h
90
= 483 597, 9 GHz/V) y de von
Klitzing (R
K−90
= h
90
/e
2
90
= 25 812, 807 Ω) [12]. De
esta manera, las unidades el
´
ectricas fueron referidas a estas
constantes en lugar de utilizar las constantes h y e derivadas
del SI.
Estos efectos han demostrado una excelente robustez y
han sido utilizados para el mantenimiento de las unidades
Revista elektron, Vol. 3, No. 2, pp. 91-102 (2019)
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el
´
ectricas durante m
´
as de 20 a
˜
nos, logrando acuerdos en-
tre los distintos INM con nueve d
´
ıgitos de exactitud. Sin
embargo, si se relacionan las unidades el
´
ectricas con otras
unidades del SI se debe tener en cuenta la incertidumbre
de las constates, que en el a
˜
no 1990 era de 0, 6 × 10
−6
para K
J
y 0, 045 × 10
−6
para R
K
. En el
´
ultimo ajuste
realizado por CODATA la incertidumbre en la determinaci
´
on
de ambas contantes se redujo a 6, 1× 10
−9
y a 2, 3 × 10
−10
,
respectivamente [13]. Esta reducci
´
on de la incertidumbre
se debe a las mejoras en las t
´
ecnicas de medici
´
on, que
tambi
´
en determinan una diferencia en sus valores respecto a
los fijados en 1990, resultando en la perdida de consistencia
del sistema de unidades. La redefinici
´
on aprobada en 2018
fija el valor num
´
erico de las constantes h y e, eliminando la
inconsistencia entre las unidades el
´
ectricas y mec
´
anicas, y
produciendo un corrimiento en las constantes, ver tabla II.
Estas variaciones se propagan a los resultados de medici
´
on,
siendo apreciable solo en los patrones de mayor exactitud.
Dicho cambio ser
´
a observado en la historia de vida del
patr
´
on como una discontinuidad, que en la mayor
´
ıa de los
casos se encuentra dentro de la incertidumbre de trabajo. La
Fig. 6 presenta esquem
´
aticamente la evoluci
´
on temporal de
la definici
´
on de la unidad ampere, primero se refer
´
ıa a µ
0
,
luego se bas
´
o en R
K−90
y K
J−90
, y ahora se reunifica la
pr
´
actica y la definici
´
on utilizando h y e. En esta nueva etapa,
las constantes el
´
ectricas y magn
´
eticas ser
´
an determinadas
mediante el ajuste, lo cual no debe inducir a interpretar que
son propiedades f
´
ısicas del vac
´
ıo [14], [15].
TABLA II
COMPARACI
´
ON ENTRE LOS VALORES DE LA CONSTANTE DE JOSEPHSON
Y DE VON KLITZING. LOS VALORES ADOPTADOS EN 1990 SON
REPRESENTADOS CON EL A
˜
NO EN EL SUB
´
INDICE.
Constante de Josephson
K
J−90
= 2e
90
/h
90
= 483 597, 9 GHz/V
K
J
= 2e/h = 483 597, 848 GHz/V
Diferencia relativa 106, 67 × 10
−9
Constante de von Klitzing
R
K−90
= h
90
/ e
2
90
= 25 812, 807 Ω
R
K
= h/e
2
= 25 812, 8075 Ω
Diferencia relativa −17, 79 × 10
−9
Fig. 6. Historia de la definici
´
on de la unidad ampere en el SI. En 1990
se habilit
´
o el uso de una reproducci
´
on paralela, fuera del SI, con menor
incertidumbre que la definici
´
on al introducir el uso del efecto Josephson y
Hall cu
´
antico. Al mismo tiempo, se gener
´
o una diferencia entre la forma
de materializar el ampere y su definici
´
on del SI. En el a
˜
no 2019 el ampere
vuelve a ser integrado al sistema de unidades.
1) Realizaci
´
on del ampere: Con la nueva definici
´
on, el
ampere puede ser realizado a partir de tres caminos [16],
como representa la Fig. 7. El primero, y m
´
as representativo
de la definici
´
on, es mediante un experimento que permite
la manipulaci
´
on de cargas elementales, como electrones,
a trav
´
es de una juntura en un determinado intervalo de
tiempo, expresado en segundos (s). Por lo tanto, se puede
determinar la corriente como la cantidad de carga, expresada
en coulomb (C), por unidad de tiempo, A = C/s. Este
experimento se denomina Single Electron Tunneling (SET)
y es una t
´
ecnica por la cual es posible manipular electrones
individualmente. Se basa en el bloqueo de Coulomb que se
da en junturas t
´
unel de peque
˜
na capacidad. Aplicando una
tensi
´
on de polarizaci
´
on se induce el paso de electrones a
trav
´
es de la juntura, cada electr
´
on aumentar
´
a la tensi
´
on de
la juntura hasta llegar al punto donde
´
esta sea lo suficiente-
mente alta para suprimir futuras transiciones (transmisi
´
on
cero). Hasta ahora, se han logrado valores de corriente
m
´
aximos en el orden de 150 pA con incertidumbres de
1×10
−6
, lo cual es un valor muy bajo de corriente y alejado
de las necesidades pr
´
acticas [5].
El ampere tambi
´
en podr
´
a ser realizando aplicando la ley
de Ohm, A = V/Ω, y utilizando el efecto Josephson y el
efecto Hall cu
´
antico. El tercer camino es a partir de la
unidad de capacidad el farad (F) que se realiza utilizando
un capacitor calculable. En este caso, se aplica una rampa
de tensi
´
on a un capacitor generando una corriente constante
durante un intervalo de tiempo, entonces A = F V/s.
Fig. 7. Luego del 20 de mayo de 2019, el ampere puede ser realizado a
trav
´
es de tres principios. A partir de la manipulaci
´
on de cargas individuales,
con el efecto Hall cu
´
antico y el efecto Josephson, y con el efecto Josephson
y con un capacitor calculable.
2) Los efectos de la redefinici
´
on en mediciones el
´
ectricas:
Es interesante analizar los efectos de la redefinici
´
on en los
servicios de calibraci
´
on de patrones de tensi
´
on el
´
ectrica
basados en referencias de estado s
´
olido. Los patrones de
mayor exactitud se basan en elementos comerciales, por
ejemplo el diodo LTZ1000 de Linear Technology (ahora
Analog Device), que posee muy bajo ruido, buena estabili-
dad y muy baja deriva con la temperatura. Este elemento,
o similares, son utilizados en mult
´
ımetros o calibradores
y por tal motivo se llega a una exactitud en mediciones
directas mayor a 1 µV para tensiones entre 1 V y 10 V, y
a un a
˜
no desde la fecha de calibraci
´
on. Un t
´
ecnico espe-
cializado podr
´
ıa reducir esta incertidumbre con una correcta
Revista elektron, Vol. 3, No. 2, pp. 91-102 (2019)
ISSN 2525-0159
95
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caracterizaci
´
on del instrumento y condiciones ambientales
estrictas. La Fig. 8 muestra como ejemplo la historia de un
mult
´
ımetro de alta exactitud. El efecto Josephson permite
alcanzar incertidumbres en el orden de 1 nV/V [17]. Por
lo tanto, la trazabilidad del volt se encuentra limitada por
las referencias de estado s
´
olido, con una incertidumbre en
torno a 0, 15 µV [18] y entonces, los cambios producidos
por la redefinici
´
on est
´
an contenidos en la incertidumbre de
medici
´
on. Luego del 20 de mayo de 2019 este cambio deber
´
a
ser considerado al calibrar y usar los patrones basados en
referencias de estado s
´
olido, y deber
´
a quedar registrado en
su historia de vida.
Fig. 8. Historia de la calibraci
´
on de un mult
´
ımetro Wavetek 1281 en
puntos cercanos al fondo de rango e invirtiendo la polaridad para eliminar la
tensiones termoel
´
ectricas, la incertidumbre de calibraci
´
on se encuentra entre
1 y 3, 4 µV/V. La incertidumbre en la medici
´
on de tensi
´
on especificada
por el fabricante en todos los rangos y a un a
˜
no se encuentra entre 6 y
10 µV/V para una lectura igual al fondo de rango. El mult
´
ımetro mejora
la especificaci
´
on dada por el fabricante.
Por otro lado, los resistores patrones suelen tener una
excelente estabilidad y bajo coeficiente de temperatura.
Incluso los elementos comerciales especifican coeficiente de
temperatura de 0, 05 µΩ/K y estabilidad a largo plazo menor
a 2 µΩ/Ω en seis a
˜
nos [19]. Su calibraci
´
on en INTI se
logra en el mejor caso con una incertidumbre de 80 × 10
−9
midiendo un resistor de 10 kΩ con el efecto Hall cu
´
antico.
Esta incertidumbre es mayor que la correcci
´
on en el valor
de la constante de von Klitzing y por lo tanto la redefinici
´
on
no provocar
´
a ninguna alteraci
´
on en los servicios. Otros
servicios que informan resultados con la unidad Ω no ser
´
an
afectados debido a que su incertidumbre es mucho mayor,
por ejemplo los mult
´
ımetros de alta exactitud poseen para la
medici
´
on de resistencia, en el mejor caso, una incertidumbre
de 1 µΩ/Ω a 24 horas. Si se considera un a
˜
no desde la fecha
de calibraci
´
on la incertidumbre puede llegar a 10 µΩ/Ω.
Las incertidumbres de trabajo de otras unidades el
´
ectricas,
como el watt, el farad o el henry son mayores que las ya
comentadas y por lo tanto la redefinici
´
on no generar
´
a un
efecto apreciable.
B. Los efectos de la redefinici
´
on del kelvin, el mol y el
kilogramo
La unidad de temperatura termodin
´
amica, el kelvin, es
definida a partir de la constante de Boltzmann, sustituyendo
a la definici
´
on basada en la temperatura del punto triple del
agua e independizando la definici
´
on de la propiedad de una
sustancia en particular. El m
´
etodo m
´
as exacto disponible
hasta el momento es el term
´
ometro ac
´
ustico de gas, en el
cual la temperatura se determina a partir de la velocidad del
sonido en un gas. Sin embargo, la comunidad internacional
mantiene la utilizaci
´
on de la escala internacional de tempera-
tura implementada en 1990 (ITS-90) para la calibraci
´
on de
term
´
ometros patrones, permitiendo una continuidad de las
pr
´
acticas e incertidumbre. Los puntos fijos establecidos en
la escala internacional fueron evaluados mediantes distintos
tipos de term
´
ometros primarios y los resultados presentaron
diferencias aceptables. A partir del cambio, la temperatura
del punto triple del agua pasa a tener una incertidumbre
de 0, 37 × 10
−6
[20], [21] y deja de tener un lugar central
en la cadena de trazabilidad. La nueva definici
´
on permite
obtener trazabilidad directa en cualquier punto de la escala,
beneficiando principalmente a las mediciones realizadas en
sus extremos.
Una situaci
´
on similar se produce en el
´
area de la
Metrolog
´
ıa Qu
´
ımica, en la cual se mantienen los m
´
etodos
tradicionales para la realizaci
´
on del mol y por lo tanto las
pr
´
acticas no ser
´
an afectadas [22]. En la definici
´
on anterior,
el mol era derivado del kilogramo a partir de la masa del
carbono 12. Esta dependencia se rompe con la definici
´
on
basada en la constante de Avogadro, independizando la
unidad de cantidad de sustancia (el mol) de la de masa (el
kilogramo) y de una sustancia en particular. Se debe tener en
cuenta que con la masa molar del carbono 12 deja de tener
un valor fijo y pasa a ser 0,012 kg mol
−1
(4, 5 × 10
−10
).
Una de las
´
areas con mayor impacto es la metrolog
´
ıa
de masas. La nueva definici
´
on del kilogramo implica que
la unidad ya no es materializada mediante el prototipo
internacional del kilogramo [23]. En su lugar, el kilogramo
es realizado con la m
´
axima exactitud en t
´
erminos de la
constante de Planck mediante dos t
´
ecnicas, la balanza
de Kibble y el m
´
etodo XRCD (X Ray Crystallography
Diffraction, Cristalograf
´
ıa por difracci
´
on de rayos X). Las
incertidumbres que alcanzan estos m
´
etodos cumplen con
los requerimientos de la clase E1 de patrones de masa,
definida por la Organizaci
´
on Internacional de Metrolog
´
ıa
Legal (OIML) [24].
El m
´
etodo XRCD busca relacionar la masa de una esfera
de silicio 28, ver foto 9, muy bien pulida y caracterizada,
con la cantidad de
´
atomos que hay en ella y la masa del
´
atomo de
28
Si. La cantidad de
´
atomos se obtiene como
N =
8V
S
a(
28
Si)
3
, (1)
donde V
S
es el volumen de la esfera, a(
28
Si)
3
es el volumen
de una celda unitaria del
´
atomo de silicio 28 y a(
28
Si) es
el par
´
ametro de red que se determina utilizando el m
´
etodo
XRCD. El n
´
umero 8 corresponde a la cantidad de
´
atomos
en cada celda.
La masa del
´
atomo, m
a
, expresada en kg se puede
determinar a partir de la relaci
´
on entre ella y la constante
de Planck, h/m
a
, que se conoce con gran exactitud.
En la balanza de Kibble, ver foto 10, se relaciona potencia
virtual mec
´
anica con potencia virtual electromagn
´
etica, por
eso se la suele denominar balanza de watt. Entonces, la
unidad de masa se determina a partir de la aceleraci
´
on de
la gravedad, la velocidad con la cual se mueve la masa y la
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Fig. 9. Esfera de silicio producida por el instituto PTB - Alemania a partir
de un cristal con pureza isot
´
opica de 99,998 %. Foto crotesia del PTB.
potencia electromagn
´
etica virtual. Cada uno de estos valores
son medidos, el primero mediante un grav
´
ımetro absoluto,
el segundo por t
´
ecnicas interferom
´
etricas y la potencia
electromagn
´
etica se determina a partir de la constante de
Planck mediante los efectos Josephson y Hall cu
´
antico.
Fig. 10. Foto de la balanza de Kibble del National Research Counsil de
Canad
´
a (NRC) mediante la cual se logr
´
o determinar con gran exactitud el
valor de h. Foto cortes
´
ıa del NRC.
El experimento se realiza en dos etapas como muestra
la Fig. 11, (a) la est
´
atica y (b) la din
´
amica. En la primera,
el peso de la masa bajo medici
´
on mg se compara con una
fuerza de Lorenz que act
´
ua sobre una bobina de longitud L
por donde circula una corriente I, se obtiene
mg = IBL, (2)
donde B es el campo magn
´
etico concatenado por la bobina
y g es el valor de la aceleraci
´
on debido a la fuerza de
gravedad en el lugar de la medici
´
on. En la segunda parte
del experimento la masa es retirada y se desplaza la bobina
a velocidad constante v en la direcci
´
on vertical y a trav
´
es del
campo magn
´
etico. De esta manera se induce una diferencia
de potencial U en la bobina seg
´
un la ley de Faraday.
Entonces,
U = BLv (3)
Se puede asumir que BL es constante entre las dos medi-
ciones, entonces se puede eliminar y se obtiene
UI = mgv. (4)
En ambos lados de la ecuaci
´
on se obtiene una magnitud
que se puede expresar en unidades de watt, desde unidades
(izquierda) el
´
ectricas y (derecha) mec
´
anicas. Si se reemplaza
la tensi
´
on y la corriente en t
´
erminos del efecto Hall cu
´
antico
y del efecto Josephson, se obtiene una relaci
´
on entre la masa
y la constante de Planck,
m = C
f
J
f
0
J
gv
h, (5)
donde C es una constante de calibraci
´
on, y f
J
y f
0
J
son las
frecuencias de Josephson al medir la tensi
´
on y la corriente.
Con el tiempo, otros m
´
etodos podr
´
an ser desarrollados
para brindar la trazabilidad a la unidad de masa. Por ejem-
plo, las balanzas basadas en la fuerza electrost
´
atica podr
´
ıan
ser utilizadas para brindar trazabilidad a masas con valores
menores a 1 kg, reduciendo la incertidumbre y la cadena de
trazabilidad [25].
Por
´
ultimo, se debe considerar que los cambios detallados
se propagan a las unidades derivadas, como puede ser flujo
gaseoso, fuerza o presi
´
on sonora. Sin embargo, las incer-
tidumbres t
´
ıpicas de trabajo en estas
´
areas son superiores y
por lo tanto no se notar
´
an los efectos.
Fig. 11. Descripci
´
on gr
´
afica del experimento de la balanza de Kibble. (a)
Etapa est
´
atica. (b) Etapa din
´
amica.
IV. CONCLUSI
´
ON
El Sistema Internacional de Unidades se renueva
peri
´
odicamente integrando las mejoras de la ciencia y la
tecnolog
´
ıa. Desde el 20 de mayo del a
˜
no 2019, el SI es
definido a partir de constantes de referencia, logrando una
estabilidad a largo plazo sin precedentes y brindado el marco
formal para el crecimiento de la ciencia y la tecnolog
´
ıa. Con
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el nuevo SI, la realizaci
´
on de las unidades no est
´
a limitada a
determinadas sustancias, artefactos o valores. Esto permite
el desarrollo de nuevos patrones para cualquier unidad,
reduciendo la cadena de trazabilidad y obteniendo menores
incertidumbres.
Para las mediciones el
´
ectricas, esta redefinici
´
on significa
un retorno a la coherencia con el resto de las unidades
del SI y un reconocimiento a los avances realizados en la
realizaci
´
on del volt y del ohm. Los cambios en el valor de
las unidades ser
´
an observables solo por los laboratorios que
poseen los sistema de medici
´
on m
´
as exactos.
AP
´
ENDICE A
EL EFECTO JOSEPHSON
Una juntura Josephson esta conformada por dos ma-
teriales superconductores separados por una uni
´
on d
´
ebil,
por ejemplo un material aislante o un metal normal. El
estado superconductor se logra enfriado al material a una
temperatura menor a su temperatura cr
´
ıtica, que para el
caso de junturas Josephson suele ser 9 K. Si adem
´
as se
la expone a radiaci
´
on electromagn
´
etica de frecuencia f, su
curva de corriente-tensi
´
on presenta escalones cuantizados
denominados escalones de Shapiro en honor a quien los
observ
´
o por primera vez [26], ver Fig. 12. El valor de estos
escalones est
´
a dado por la ecuaci
´
on
V
n
= n
h
2e
f = n
1
K
J
f, (6)
donde n es un n
´
umero entero que representa al escal
´
on. La
separaci
´
on entre los escalones es la frecuencia experimental
dividida la constante de Josephson, por ejemplo para f =
70 GHz la diferencia es igual a 145 µV.
Fig. 12. (Izquierda) Se presenta un esquema de la juntura Josephson.
(Derecha) Curva corriente-tensi
´
on de la juntura, se pueden observar que
los escalones est
´
an solapados debido a su hist
´
eresis.
Una sola juntura puede brindar tensiones menores a
10 mV. Para lograr tensiones mayores (entre ±10 V) los
patrones de tensi
´
on Josephson utilizan un conjunto de jun-
turas conectadas en serie. Este intervalo permite calibrar
cualquier referencia de tensi
´
on del mercado, y mult
´
ımetros y
generadores en los rangos de tensi
´
on que presentan mejores
exactitudes.
El sistema de medici
´
on est
´
a constituido por una sonda
criog
´
enica con una gu
´
ıa de onda y un blindaje magn
´
etico
donde se coloca el arreglo de junturas. La sonda se sumerge
en helio l
´
ıquido a 4,2 K contenido en un cri
´
ostato. La ra-
diaci
´
on de microondas se genera con un diodo Gunn ubicado
en el extremo “caliente” de la sonda. Este dispositivo puede
generar radiaci
´
on de microondas con frecuencia controlable
con la tensi
´
on continua de alimentaci
´
on. La frecuencia de
microondas, t
´
ıpicamente 70 GHz, es medida por un contador
mediante un acoplador direccional y un sensor. Se configura
al contador con una base de tiempo externa, por ejemplo
un reloj at
´
omico de cesio, para brindar trazabilidad a la
medici
´
on. La lectura del contador se utiliza para cerrar un
lazo de realimentaci
´
on manejando la fuente de alimentaci
´
on
del diodo Gunn y controlando su estabilidad en el orden de
1 nHz/Hz. Luego del acoplador direccional se coloca un
atenuador para regular la cantidad de energ
´
ıa que recibe el
arreglo.
El patr
´
on de tensi
´
on a calibrar es conectado en paralelo
al arreglo Josephson mediante una caja de inversi
´
on de bajo
potencial termoel
´
ectrico y la diferencia de potencial entre
ellos se mide con un detector de cero. Entonces, conociendo
el n
´
umero de escal
´
on, la frecuencia de radiaci
´
on y la lectura
del detector de cero se obtiene el valor de la inc
´
ognita
[18]. Si bien la tensi
´
on generada por el efecto Josephson
se considera sin incertidumbre, el sistema introduce una
incertidumbre en el orden de 1 nV/V debido principalmente
a las resistencias de aislaci
´
on, a la frecuencia de radiaci
´
on, y
a los errores de offset y ganancia del detector. Si adem
´
as se
considera la estabilidad a corto plazo del patr
´
on de tensi
´
on
bajo calibraci
´
on, la incertidumbre de su calibraci
´
on puede
aumentar hasta 100 veces.
Fig. 13. Sistema del efecto Josephson del INTI. A la izquierda de la foto
se pueden observar los patrones de tensi
´
on de estado s
´
olido. En la parte
superior de los estantes se encuentra el nanovolt
´
ımetro y el frequenc
´
ımetro,
luego se observa el instrumental de apoyo y m
´
as abajo la fuente de
polarizaci
´
on y la caja de conexiones. En el cri
´
ostato se puede observar
la sonda criog
´
enica, empieza por el diodo Gunn, el acoplador direccional
y el atenuador de microondas.
Otra aplicaci
´
on muy importante de los sistemas Josephson
es la caracterizaci
´
on de conversores anal
´
ogicos digitales y
de mult
´
ımetros de alta exactitud. En este caso, el medidor se
conecta directamente a los bornes de tensi
´
on del sistema. Un
ejemplo sobresaliente es la determinaci
´
on de la linealidad
del medidor, se mide una serie de puntos equidistantes que
cubren todo el rango bajo estudio y se realiza un ajuste, el
residuo obtenido indica la linealidad del dispositivo. Esta
aplicaci
´
on es clave para el desarrollo de los mult
´
ımetros de
alta exactitud modernos [27], [28].
El sistema descripto es utilizable solo en tensi
´
on continua
ya que para una misma condici
´
on de uso se pueden obtener
distintos escalones, los cuales se encuentra solapados en la
curva de la Fig. 12. Por lo tanto, no es posible seleccionar
un
´
ıvocamente una tensi
´
on determinada controlando la co-
rriente de la juntura. Esta limitaci
´
on fue superada a partir
Revista elektron, Vol. 3, No. 2, pp. 91-102 (2019)
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de las mejoras en las t
´
ecnicas y materiales de fabricaci
´
on que
permitieron realizar dispositivos con junturas sin hist
´
eresis.
Se logr
´
o mediante un elemento resistivo en paralelo a la jun-
tura que se realiza incluyendo material normal dentro de la
misma, los casos m
´
as utilizados son Superconductor–Metal
normal–Superconductor (SNS) o Superconductor–Aislante–
Metal normal–Aislante–Superconductor (SINIS). Con estos
dispositivos se desarrollaron dos tipo de sistemas que son
utilizados para calibraciones en corriente alterna, el sistema
Josephson programable (PJVS) y el sistema Josephson pul-
sado (ACJVS).
El PJVS es un conversor digital-anal
´
ogico que puede
generar tensiones continuas o formas de ondas arbitrarias,
ver Fig. 14. El valor de tensi
´
on de cada nivel del con-
versor es definido a partir de la ecuaci
´
on de Josephson,
permitiendo caracterizar los par
´
ametros din
´
amicos de los
mult
´
ımetros y conversores anal
´
ogicos-digitales, y mejorar
la trazabilidad en las mediciones en corriente alterna. A
diferencia de lo presentado en la Fig. 12, estas junturas no
presentan escalones solapados, permitiendo una automati-
zaci
´
on completa mediante ’n’ fuentes de corrientes. Cada
una polariza un dado grupo binario de junturas conectadas
en serie y selecciona el escal
´
on 0, +1 o −1, entonces cada
segmento puede tomar el valor de tensi
´
on (−1, 0 o 1)f /K
J
.
Conectando todos los grupos en serie y controlando sus
estados independientemente se obtiene un conversor de n-
bits. La Fig. 15 muestra un escal
´
on de tensi
´
on medido con
un mult
´
ımetro de alta exactitud. Las transiciones entre cada
escal
´
on son realizadas en un tiempo finito y su valor de
tensi
´
on no depende de las constantes universales, por lo tanto
la aplicaci
´
on de este sistema en AC se encuentra limitada
[29]–[31].
Fig. 14. Forma de onda de baja frecuencia generada con el efecto
Josephson programable del INTI. El sistema de adquisici
´
on posee un
filtro interno para mejorar su resoluci
´
on y que genera un transitorio en la
medici
´
on. La tensi
´
on generada por el PJVS posee un tiempo de crecimiento
aproximado de 100 ns.
El sistema Josephson pulsado permite sintetizar con exac-
titud cu
´
antica formas de onda arbitrarias hasta 1 MHz,
incluyendo se
˜
nales senoidales con alta pureza espectral. Es-
tos sistemas pueden ser utilizados para brindar trazabilidad
a tensi
´
on alterna, caracterizar componentes electr
´
onicos o
instrumentos y para construir puentes de impedancia de alta
exactitud. Adem
´
as, esta t
´
ecnica permite generar una se
˜
nal de
Fig. 15. Curva caracter
´
ıstica corriente-tensi
´
on para un arreglo programable
de junturas Josephson del INTI, se incluye una foto del chip fabricado en
el PTB. La juntura sin hist
´
eresis permite obtener un
´
unico escal
´
on para
la corriente de polarizaci
´
on. Esta caracter
´
ıstica puede ser utilizada para
generar formas de onda.
pseudo-ruido calculable para caracterizar los amplificadores
de los term
´
ometros primarios basados en el ruido de Johnson
[31]. En estos sistemas, la juntura Josephson es excitada
con un tren de pulsos de corriente. Si cada pulso posee
una amplitud, duraci
´
on y tiempo de crecimiento dentro de
ciertos rangos, la amplitud del pulso de tensi
´
on Josephson
est
´
a perfectamente cuantizada y depende de la m
´
axima
frecuencia de pulso. Entonces, la integral en el tiempo
de los pulsos est
´
a tambi
´
en cuantizada y depende solo de
la constante de Josephson. Por lo tanto, la se
˜
nal deseada
debe ser codificada con un tren de pulsos de corriente, por
ejemplo Pulse Width Modulation - PWM, que se inyectan
al array Josephson. Los pulsos de tensi
´
on generados por el
array son filtrados para obtener una reconstrucci
´
on exacta
de la se
˜
nal deseada, ver Fig. 16.
AP
´
ENDICE B
EL EFECTO HALL CU
´
ANTICO
El efecto Hall cu
´
antico es observado en gases de elec-
trones bidimensionales al aplicar un campo magn
´
etico per-
pendicular al plano del gas de electrones y a la direcci
´
on
de la corriente. La Fig. 17 presenta una geometr
´
ıa t
´
ıpica,
con una barra de conducci
´
on y contactos laterales. Se
define la resistencia Hall R
H
= V
H
/I y la resistencia
longitudinal R
xx
= V
xx
/I. La Fig. 18 presenta las curvas
de ellas en funci
´
on de la inducci
´
on magn
´
etica aplicada, se
pueden observar mesetas en la curva correspondientes a la
resistencia Hall que concuerdan con los valles, de valor
cercano a 0 Ω, de la resistencia longitudinal. Klauss von
Klitzing demostr
´
o que el valor de R
H
en la meseta es
R
H
= R
K
/i, donde i es un n
´
umero entero que indica el
escal
´
on correspondiente, empezando desde el n
´
umero 1.
En metrolog
´
ıa, el gas bidimensional de electrones se
obtiene en muestras de hetereostructuras de GaAs/AlGaAs,
colocadas a temperatura menor a 1,5 K y campo magn
´
etico
aproximado de 10 T. Estas condiciones de contorno pueden
ser relajadas utilizando muestras de grafeno. La repro-
ducibilidad de este efecto fue demostrada comparando ge-
ometr
´
ıas y materiales, por ejemplo una muestra de grafeno
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Fig. 16. (a) La se
˜
nal deseada es codificada en un tren de pulsos, los
mejores resultados se obtienen mediante modulaci
´
on sigma-delta. Estos
pulsos son generados en corriente e inyectados al chip Josephson. (b)
Gracias al efecto Josephson, el
´
area de los pulsos en tensi
´
on est
´
a cuantizada.
(c) La tensi
´
on filtrada reconstruye la se
˜
nal deseada con exactitud cu
´
antica
y gran pureza espectral.
Fig. 17. (Izquierda) Foto de una muestra de GaAs/AlGaAs. (Derecha)
Foto de la barra Hall donde se indica la direcci
´
on de circulaci
´
on de la
corriente, y los terminales que definen la tensi
´
on Hall y la longitudinal.
fue medida con otra de GaAs/AlGaAs y se obtuvo un
acuerdo menor a su incertidumbre, en el orden de 10
−10
[32], [33].
La calibraci
´
on de los resistores patrones consiste en
comparar al elemento con R
H
por medido de compara-
dores de corriente o sistemas potenciom
´
etricos. El primer
m
´
etodo es el m
´
as utilizado ya que permite utilizar corrientes
distintas en cada elemento, mientras que en el sistema
potenciom
´
etrico la misma corriente fluye por ambos elemen-
tos conectados en serie. T
´
ıpicamente se utiliza la segunda
meseta (i=2) para la cual el valor de la resistencia Hall
es 12906, 40375 Ω, ya que presenta la mejor relaci
´
on
entre ancho del escal
´
on, campo magn
´
etico necesario y
Fig. 18. Curva caracter
´
ıstica de la resistencia Hall y de la resistencia
longitudinal con el campo magn
´
etico. Se puede observar las mesetas y los
valles caracter
´
ısticos que se forman para cada curva. La meseta superior
corresponde a n = 2.
valor nominal. La incertidumbre de la calibraci
´
on se debe
principalmente al m
´
etodo de comparaci
´
on y es interesante
notar que debido al ancho de la meseta la inestabilidad
del campo magn
´
etico es despreciable. Un m
´
etodo poten-
ciom
´
etrico basado en un mult
´
ımetro de alta exactitud puede
lograr 80 nΩ/Ω al medir un resistor patr
´
on de 10 kΩ
[34], ver Fig. 19. Un comparador de corriente directa puede
alcanzar 40 nΩ/Ω y un comparador criog
´
enico de corriente
puede lograr valores de incertidumbre en torno a 1 nΩ/Ω
para resistores desde 1 Ω hasta 10 kΩ [35].
Fig. 19. Sistema potenciom
´
etrico del INTI basado en un mult
´
ımetro de
alta exactitud. Se utiliza una fuente patr
´
on de tensi
´
on y un arreglo de
resistores de alta estabilidad para para generar una corriente aproximada de
50 µA que fluye por el resistor inc
´
ognita y el chip Hall conectados en serie.
Una matriz de conmutaci
´
on, de rel
´
es con enclavamiento, permite invertir el
sentido de corriente, posici
´
on de los resistores y del DVM. El mult
´
ımetro
mide alternadamente la tensi
´
on Hall y la tensi
´
on sobre la resistencia, su
divisi
´
on es igual a la relaci
´
on de las resistencias.
En los comparadores de corriente directa cada resistor se
conecta en serie a una bobina y a una fuente de corriente,
ver Fig. 20. Las bobinas generan flujo magn
´
etico en sentido
contrario y en un mismo n
´
ucleo ferromagn
´
etico. Entonces,
si se aplica la ley de Amp
`
ere en un camino cerrado sobre el
n
´
ucleo y se acepta que el mismo es homog
´
eneo se obtiene
I
1
N
1
− I
2
N
2
= φ, siendo I y N la corriente y cantidad
de vueltas de las bobinas 1 y 2. El flujo magn
´
etico φ se
determina mediante un detector de segunda arm
´
onica y su
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lectura se utiliza para controlar una de las fuentes y cancelar
el flujo magn
´
etico remanente. Un volt
´
ımetro mide la dife-
rencia de tensi
´
on entre los resistores, V = I
1
R
1
− I
2
R
2
. Se
puede incluir una tercer bobina para realimentar y cancelar
la diferencia de tensi
´
on, entonces la ecuaci
´
on del flujo
resulta I
1
N
1
− I
2
N
2
− I
F
N
F
= φ. Cuando el puente est
´
a
balanceado, V = 0 y φ = 0, se puede obtener la relaci
´
on
entre los elementos trabajando con las ecuaciones previas:
R
2
= R
1
N
2
N
1
(1 +
I
F
N
F
I
2
N
2
). (7)
La relaci
´
on
I
F
N
F
I
2
N
2
se debe medir con exactitud pero debido
a que su valor nominal es mucho menor a 1 su efecto en la
incertidumbre de R
2
es peque
˜
no.
Fig. 20. (a) Aplicaci
´
on de la ley de Amp
`
ere sobre dos bobinas. (b)
Comparador de corriente alterna, se utiliza un n
´
ucleo ferromagn
´
etico para
concatenar el flujo magn
´
etico y una bobina para detectar el flujo remanente
mediante la ley de Faraday-Lenz. (c) Diagrama de un comparador de
corriente directa autom
´
atico.
Las menores incertidumbres se pueden obtener con un
comparador criog
´
enico de corriente, ver Fig 21, el cual
mantiene el principio de funcionamiento del comparador
de corriente directa pero lo mejora utilizando tecnolog
´
ıa
superconductora. El n
´
ucleo ferromagn
´
etico es reemplazado
con un blindaje superconductor solapado, logrando dis-
minuir dr
´
asticamente el error en la relaci
´
on de corriente
hasta 1 × 10
−10
gracias al efecto Meissner. Adem
´
as, la
detecci
´
on de flujo magn
´
etico se realiza mediante un SQUID
(Superconducting Quantum Interference Device), el cual
posee una l
´
ımite de sensibilidad de algunas partes por mill
´
on
del cuanto de flujo magn
´
etico, en el orden de 2× 10
−21
Wb.
Fig. 21. Diagrama de un comparador criog
´
enico de corriente. El n
´
ucleo
ferromagn
´
etico fue reemplazado por un blindaje superconductor solapado
y el flujo remanente es detectado con un sensor SQUID.
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