Interfaces is
´
otropo-anis
´
otropo: un c
´
odigo num
´
erico
para caracterizar la reflexi
´
on y refracci
´
on
Isotropic-anisotropic interfaces: an algorithm to characterize reflection and refraction
Germ
´
an E. Caro
∗1
, Eduardo O. Acosta
∗2
, Francisco E. Veiras
∗†3
y Liliana I. Perez
∗‡4
∗
Grupo de L
´
aser,
´
Optica de Materiales y Aplicaciones Electromagn
´
eticas, Departamento de F
´
ısica,Facultad
de Ingenier
´
ıa, Universidad de Buenos Aires, Av. Paseo Col
´
on 850 - (C1063ACV) CABA - Argentina
†
Consejo Nacional de Investigaciones Cient
´
ıficas y T
´
ecnicas
‡
Universidad de Buenos Aires. Consejo Nacional de Investigaciones Cient
´
ıficas y T
´
ecnicas. Instituto de Tecnolog
´
ıas y
Ciencias de la Ingenier
´
ıa ”Hilario Fern
´
andez Long”. Facultad de Ingenier
´
ıa.
Av. Paseo Col
´
on 850 - (C1063ACV) CABA - Argentina
1
german.layer8@gmail.com
2
eacosta@fi.uba.ar
3
fveiras@fi.uba.ar
4
lperez@fi.uba.ar
Abstract—The detailed study of the response of anisotropic
linear materials to electromagnetic fields has as one of its aims
the design of new devices of interest in Optics, Optoelectronics
and Electronics. In this paper we present a simple computer
tool that is able to determine the characteristics of the
propagation of plane waves through an isotropic-anisotropic
uniaxial interface with arbitrary direction of the optical axis
with respect to the direction of incidence. The algorithms were
checked with the analytical results in cases where the incidence
plane coincides with each of the principal planes of the crystal.
Keywords: anisotropy; reflection; transmission; optoelectronic
devices.
Resumen— El estudio detallado de la respuesta de los
materiales lineales anis
´
otropos ante campos electromagn
´
eticos
tiene como uno de sus fines el de dise
˜
nar nuevos dispositivos
de inter
´
es en
´
Optica, Optoelectr
´
onica y Electr
´
onica. En este
trabajo presentamos una herramienta num
´
erica sencilla que
es capaz de determinar las caracter
´
ısticas de la propagaci
´
on de
las ondas planas a trav
´
es de una interfaz is
´
otropo-anis
´
otropo
uniaxial con direcci
´
on arbitraria del eje
´
optico respecto a la
direcci
´
on de incidencia. Los algoritmos fueron comprobados
con los resultados anal
´
ıticos en los casos en que el plano de
incidencia coincide con cada uno de los planos principales del
cristal.
Palabras clave: anisotrop
´
ıa; reflexi
´
on, trasmisi
´
on; dispositivos
optoelectr
´
onicos.
I. INTRODUCCI
´
ON
Las propiedades
´
opticas de los materiales uniaxiales
ha sido estudiada desde el descubrimiento de la doble
refracci
´
on en el espato de Islandia, realizado en 1669
por el m
´
edico y cient
´
ıfico dan
´
es Erasmus Bertholinus.
Si bien describi
´
o con detalle el fen
´
omeno, no pudo dar
una explicaci
´
on satisfactoria de su naturaleza f
´
ısica. Esta
formaci
´
on cristalina, llamada calcita entre los cristal
´
ografos,
es una de las variantes en las que cristaliza el CaCO
3
. La
primera explicaci
´
on satisfactoria se encuentra unos pocos
a
˜
nos despu
´
es al aplicar un nuevo modelo de la naturaleza
de la luz: la teor
´
ıa ondulatoria de la luz (defendida por
Robert Hooke) que fue perfeccionada por Christian Huygens
(ambos coet
´
aneos de Bertholinus). Huygens enunci
´
o un
principio (que hoy lleva su nombre) que establece que cada
punto donde llega una perturbaci
´
on luminosa puede ser
considerada como el centro de una nueva perturbaci
´
on en
forma de onda esf
´
erica.
Fig. 1. Fotograf
´
ıa que muestra la doble refracci
´
on en un cristal de calcita
(Gentileza de la Dra. Mar
´
ıa C. Simon y del Dr. Rodolfo Echarri)
Cuando la luz incide en forma oblicua sobre un bloque
uniaxial con su eje
´
optico dentro del plano de incidencia,
los modos ordinario y extraordinario est
´
an separados. La
onda ordinaria refractada en la interfaz is
´
otropo-uniaxial
est
´
a polarizada perpendicularmente al plano de incidencia
(modo s o TE) y la extraordinaria paralelamente al plano de
incidencia (modo p o TM). Como ambas ondas se mueven
a distintas velocidades el rayo extraordinario no tiene la
misma direcci
´
on que la normal extraordinaria, pero est
´
a
contenido en el plano de incidencia. Como consecuencia al
atravesar el bloque se transmiten dos haces paralelos como
se muestra en la Figura 1.
En los
´
ultimos a
˜
nos la cantidad y tipo de elementos
´
opticos construidos con materiales anis
´
otropos ha aumen-
tado considerablemente en parte debido a que se han
podido sintetizar muchos nuevos o poco disponibles en
Recibido: 03/06/19; Aceptado: 26/09/19
Revista elektron, Vol. 3, No. 2, pp. 103-111 (2019)
ISSN 2525-0159
103
la naturaleza. Esto ayud
´
o al crecimiento del estudio de
sus potencialidades y de su uso en sistemas m
´
as all
´
a de
los cl
´
asicos (polarizadores, interfer
´
ometros de polarizaci
´
on,
l
´
aminas retardadoras, etc.). Por otra parte, algunas t
´
ecnicas
de fabricaci
´
on de elementos
´
opticos producen cambios de las
propiedades de los materiales is
´
otropos convirti
´
endolos en
anis
´
otropos (por ejemplo, la construcci
´
on de fibras
´
opticas).
Estos son algunos de los motivos por los que en las
´
ultimas
d
´
ecadas se profundiz
´
o el estudio de las propiedades de
interfaces que involucren por lo menos un medio anis
´
otropo
[1]–[6].
Una de las peculiaridades que se producen en la propa-
gaci
´
on de ondas en interfaces is
´
otropo-uniaxial lineal, es
que las ondas ordinarias se comportan similar a las de un
medio is
´
otropo; en cambio para las ondas extraordinarias
las direcciones de las normales a los frentes de onda no
coinciden con las respectivas direcciones de propagaci
´
on
de la energ
´
ıa (denominada rayos) y adem
´
as, excepto en
algunos casos particulares, el rayo no est
´
a dentro del plano
de incidencia.
Como puede intuirse, el problema de reflexi
´
on y re-
fracci
´
on en interfaces is
´
otropo-uniaxial o uniaxial-is
´
otropo
resulta muy complejo de interpretar. Si en lugar de dos
interfaces planas tuvi
´
eramos varias (multicapas anis
´
otropas)
o las superficies no fueran paralelas (como en los inter-
fer
´
ometros de polarizaci
´
on) o los medios tuvieran restric-
ciones geom
´
etricas (como en una fibra
´
optica), las dificul-
tades aumentan considerablemente.
Se debe destacar que aparecen fen
´
omenos muy particu-
lares, aunque solo se trate de una sola interfaz is
´
otropo-
uniaxial o uniaxial-is
´
otropo no absorbentes. Si la luz in-
cide desde el medio is
´
otropo, pueden desaparecer un rayo
refractado (Reflexi
´
on Total Ordinaria o Reflexi
´
on Total Ex-
traordinaria) o los dos rayos refractados [7]; que uno de
los rayos refractados forme un
´
angulo positivo y el otro
un
´
angulo negativo con la normal a la interfaz (Refracci
´
on
Negativa) [8]–[15] ; que el vector n
´
umero de onda extraor-
dinario tenga sentido de avance contrario al esperado, tanto
para ondas reflejadas [16], [17] como refractadas [13]–[15],
[17], [18] (Onda en retroceso) o que la polarizaci
´
on de
la onda reflejada sea independiente de la polarizaci
´
on de
la onda incidente (Condici
´
on de Brewster) [19], [20]. A
su vez, si la luz incide desde el medio uniaxial no solo
fen
´
omenos semejantes estar
´
an presentes, sino que tambi
´
en
pueden desaparecer (no en las mismas condiciones) dos de
los cuatro rayos reflejados en la interfaz uniaxial-is
´
otropo
(Reflexi
´
on Inhibida) [21].
Como lo muestran las experiencias desde el siglo XVII,
las ondas que se propagan en el cristal est
´
an linealmente
polarizadas pero no corresponden, en general, a los cono-
cidos modos propios de los medios is
´
otropos. Es decir,
la polarizaci
´
on de cada una de las ondas propagantes no
es cualquier polarizaci
´
on lineal. Esta propiedad dificulta el
estudio matem
´
atico, pero al mismo tiempo es una de las
ventajas de los cristales anis
´
otropos.
En este trabajo se propone, a partir de la resoluci
´
on
num
´
erica de las ecuaciones de Maxwell y relaciones con-
stitutivas, una aproximaci
´
on para determinar los campos
(m
´
odulo y fase), a trav
´
es del coeficiente de transmisi
´
on, y la
direcci
´
on de propagaci
´
on la energ
´
ıa de las ondas refractadas
al atravesar una interfaz is
´
otropo-uniaxial.
II. ONDAS EN MEDIOS IS
´
OTROPOS Y UNIAXIALES
Las ecuaciones de Maxwell son un sistema de ecuaciones
diferenciales acopladas en derivadas parciales nombradas
as
´
ı en honor a James C. Maxwell, qui
´
en las public
´
o entre
1861 y 1862 [22], [23]. Describen de forma completa todos
los fen
´
omenos electromagn
´
eticos, entre ellos la propagaci
´
on
de la luz. Estas ecuaciones dan, a trav
´
es del rotor y la
divergencia de los campos el
´
ectricos y magn
´
eticos, un
sistema que permite determinar exactamente los campos que
pueden existir en todo punto del espacio si las propiedades
electromagn
´
eticas del medio son conocidas. Para Maxwell
la ley de Faraday deb
´
ıa ser una propiedad de los campos
~
E
y
~
B que no ten
´
ıa nada que ver con la presencia o ausencia
de un circuito por el que se midiera la corriente. As
´
ı se
liber
´
o del circuito. Postul
´
o que la variaci
´
on del flujo de
~
B
en alguna zona (limitada o no limitada) del espacio, produce
en todo punto del espacio, exista o no un circuito de prueba,
un campo el
´
ectrico inducido por el cambio de flujo de
~
B.
En ausencia de fuentes, las ecuaciones de Maxwell en forma
diferencial toman la forma [24]:
~
∇ ·
~
D = 0 (1a)
~
∇ ·
~
B = 0 (1b)
~
∇ ×
~
E = −
∂
~
B
∂t
(1c)
~
∇ ×
~
H = µ
v
v
∂
~
D
∂t
(1d)
En el vac
´
ıo, coinciden el vector magn
´
etico
~
H con el vector
inducci
´
on
~
B y el vector desplazamiento el
´
ectrico
~
D con el
vector campo el
´
ectrico
~
E, a menos de una constante. En
el caso m
´
as general las relaciones entre estos campos est
´
a
dada por
~
D =
~
E +
~
P (2a)
~
B = µ(
~
H +
~
M) (2b)
donde
~
P y
~
M dependen de los campos. Los medios lineales
est
´
an caracterizados por
~
P proporcional a
~
E y
~
M a
~
H. En
consecuencia
~
D =
¯
¯
~
E (3a)
~
B =
¯
¯µ
~
H (3b)
donde
¯
¯ y
¯
¯µ son tensores y se denominan permitividad
el
´
ectrica y permeabilidad magn
´
etica, respectivamente. Las
relaciones entre
~
D y
~
E y entre
~
H y
~
B se llaman relaciones
constitutivas.
En medios lineales, is
´
otropos y no absorbentes, la permi-
tividad, que es un escalar () y normalmente la permeabil-
idad magn
´
etica µ es muy pr
´
oxima a la del vac
´
ıo (µ
v
). En
estas condiciones, lejos de las fuentes el campo
~
E (tambi
´
en
para
~
H) verifica la ecuaci
´
on
1
u
2
∂
2
~
E
∂t
2
− ∇
2
~
E = 0 (4)
donde u = 1/
√
µ = c/n es la velocidad de propagaci
´
on
de la onda, c la velocidad de la luz en el vac
´
ıo y n el
´
ındice
Revista elektron, Vol. 3, No. 2, pp. 103-111 (2019)
ISSN 2525-0159
104
http://elektron.fi.uba.ar
de refracci
´
on. La soluci
´
on de esta ecuaci
´
on corresponden a
ondas planas de la forma
~
E =
~
E
0
e
i(
~
k.~r−ωt)
(5)
ω es la frecuencia y
~
k = 2π/λ
˘
N el n
´
umero de onda, λ la
longitud de onda en el medio y
˘
N la normal a los planos
de fase constante (frentes de onda).
La propagaci
´
on de la energ
´
ıa est
´
a dada por el vector de
Pointing
~
S [24]
~
S = <(
~
E) × <(
~
H) =
1
µ
0
ω
E
2
0
~
k (6)
Identificamos con la palabra rayo, tan usada en
´
Optica
Geom
´
etrica, a la direcci
´
on del promedio temporal del vector
de Poynting, entonces la direcci
´
on del rayo
˘
R =
˘
S.
En los medios lineales con anisotrop
´
ıa el
´
ectrica, la per-
mitividad el
´
ectrica del medio no ser
´
a un escalar, sino un
tensor
¯
¯ de rango 2 y en general el vector
~
D no estar
´
a
en la direcci
´
on del campo
~
E [25]. Como
¯
¯ es sim
´
etrico,
existe un sistema de coordenadas privilegiado propio del
cristal, llamado sistema de coordenadas principal del cristal
(ˆz
1
, ˆz
2
, ˆz
3
), en el cual dicho tensor es diagonal. En el
caso de los cristales uniaxiales existe una
´
unica direcci
´
on
preferencial llamada eje
´
optico ˆz
3
. y en el sistema de ejes
principales el tensor diel
´
ectrico tiene una expresi
´
on m
´
as
sencilla:
¯
¯ =
o
0 0
0
o
0
0 0
e
(7)
donde
o
y
e
son las permitividades el
´
ectricas principal
ordinaria y principal extraordinaria, respectivamente. La
permitividad (autovalor)
e
est
´
a asociada al autovector ˆz
3
.
Esta forma de escribir el tensor diel
´
ectrico permite obtener
una ecuaci
´
on semejante a la ecuaci
´
on de ondas (4) para las
componentes de los campos en el sistema de ejes principales
1
u
2
o
∂
2
E
1
∂t
2
−
~
∇
2
E
1
= 0 (8a)
1
u
2
o
∂
2
E
2
∂t
2
−
~
∇
2
E
2
= 0 (8b)
1
u
2
e
∂
2
E
3
∂t
2
−
~
∇
2
E
3
= 0 (8c)
Como se ve en estas
´
ultimas ecuaciones las velocidades de
fase u
o
= 1/
√
µ
o
= c/n
o
y u
e
= 1/
√
µ
e
= c/n
e
no son
iguales para todas las componentes y en consecuencia no es
una verdadera ecuaci
´
on de onda. n
o
y n
e
son los
´
ındices de
refracci
´
on principales ordinario y extraordinario.
A pesar de que la ecuaci
´
on (8) no es una ecuaci
´
on de
onda se pueden proponer soluciones de onda plana y deter-
minar las condiciones que deben cumplir. Si se utilizan las
ecuaciones de Maxwell lejos de las fuentes y las relaciones
constitutivas se obtienen las relaciones entre la direcci
´
on de
la normal al frente de onda
˘
N y los campos asociados
~
E y
~
D [26]
˘
N ×
~
H = −u
~
D (9a)
˘
N ×
~
E = µ
v
u
~
H (9b)
˘
N ·
~
D = 0 (9c)
˘
N ·
~
H = 0 (9d)
Combinando estas ecuaciones se obtiene
µ
v
v
2
~
D =
~
E − (
˘
N ·
~
E)
˘
N (10)
Reemplazando
~
E en funci
´
on de
~
D en el sistema de ejes
principales y usando las ecuaciones constitutivas se llega
a un sistema de tres ecuaciones. Sus inc
´
ognitas son las
velocidades de propagaci
´
on de la onda v y las componentes
del campo
~
D en el sistema de ejes principales del cristal
(D
j
=
~
D · ˆz
j
y N
j
=
˘
N · ˆz
j
con j = 1, 2
´
o 3)
(v
2
− u
2
j
)D
j
+
3
X
i=1
u
2
i
N
i
D
i
N
j
= 0 (11)
Este sistema de ecuaciones es similar a un problema
de autovectores y autovalores, donde el autovalor es la
velocidad de propagaci
´
on de la onda y el autovector las
componentes del campo
~
D. Resolviendo el sistema se ob-
tienen dos posibles soluciones para la velocidad de fase [27]
u
0
= u
o
(12)
u
00
=
q
u
2
e
+ (u
2
o
− u
2
e
)N
2
3
(13)
u
0
se asocia a una onda denominada onda ordinaria, y es
independiente de la direcci
´
on de avance del frente de ondas.
u
00
se asocia a una onda denominada onda extraordinaria,
y su velocidad de propagaci
´
on depende de la direcci
´
on de
avance del frente de onda y de la direcci
´
on relativa del eje
´
optico del cristal.
Introduciendo u
0
y u
00
en (11) se pueden calcular las
componentes del campo
~
D para cada velocidad. Estos
son los modos propios en un medio uniaxial (ordinario y
extraordinario), en analog
´
ıa con los modos s y p de un medio
is
´
otropo.
Para la onda ordinaria se deduce que
~
E
o
y
~
D
o
son
paralelos entre s
´
ı y perpendiculares al plano definido por
el eje
´
optico ˆz
3
y el vector
~
N. Resulta entonces que la
direcci
´
on del vector de Poynting
ˆ
S
o
, es decir la direcci
´
on
del rayo ordinario (direcci
´
on de propagaci
´
on de la energ
´
ıa),
coincide con la direcci
´
on de avance del frente de ondas
~
N
o
.
ˆ
R
o
=
~
N
o
(14)
En cambio para la onda extraordinaria la direcci
´
on de
propagaci
´
on de la energ
´
ıa (
ˆ
S
e
) no coincide con la direcci
´
on
de avance del frente de onda (
~
N
e
), sino que esta depende del
mismo y de la direcci
´
on del eje
´
optico, dado por la relaci
´
on
ˆ
R
e
=
1
f
e
(n
2
o
~
N
e
+
~
V
3
) (15)
donde
~
V
3
= (n
2
e
−n
2
o
)(
~
N
e
·ˆz
3
)ˆz
3
es un vector en la direcci
´
on
del eje
´
optico y f
2
e
= n
4
o
+ (n
4
e
−n
4
o
)(
~
N
e
· ˆz
3
)
2
es un factor
de normalizaci
´
on.
Esto quiere decir que el rayo asociado a la onda extraor-
dinaria puede escribirse como un vector en la direcci
´
on
de
ˆ
N
e
y otro en la direcci
´
on de ˆz
3
. Adem
´
as, la onda
extraordinaria est
´
a linealmente polarizada siendo
~
D
e
,
~
E
e
,
ˆ
N
e
y ˆz
3
coplanares. En este caso la normal al frente de ondas
y el rayo no coinciden en general, salvo que la direcci
´
on del
eje
´
optico y la direcci
´
on de la normal al frente de ondas sean
paralelas o perpendiculares.
Revista elektron, Vol. 3, No. 2, pp. 103-111 (2019)
ISSN 2525-0159
105
http://elektron.fi.uba.ar
A. Reflexi
´
on y refracci
´
on en interfaces planas
La geometr
´
ıa usada se muestra en la Figura 2. Conside-
remos una interfaz (de normal ˆx) formada por un medio
is
´
otropo de
´
ındice de refracci
´
on n y un cristal uniaxial de
´
ındices principales ordinario y extraordinario n
o
y n
e
con
el eje
´
optico en la direcci
´
on ˆz
3
sin ninguna orientaci
´
on
en particular. Sin p
´
erdida de generalidad, se hace coincidir
al eje ˆz
2
con ˆy. Se define el plano de incidencia al que
contiene la normal a la interfaz ˆx y el rayo incidente
˘
S y
forma un
´
angulo δ con el plano que contiene al eje
´
optico
y a la normal a la interfaz. Cuando la luz incide desde un
medio is
´
otropo llamaremos α al
´
angulo de incidencia. Con
esta convenci
´
on δ = 0
◦
corresponde al caso en el que el
eje
´
optico se encuentra contenido el plano de incidencia, y
δ = 90
◦
, θ = 0
◦
aqu
´
el en que el eje
´
optico es perpendicular
al plano de incidencia.
Fig. 2. Sistema de coordenadas empleado. El plano yz representa a la
interfaz plana. El plano de incidencia est
´
a caracterizado por δ.
˘
S rayo
incidente,
˘
S
∗
rayo reflejado,
˘
R
o
y
˘
R
e
los rayos transmitidos ordinarios y
extraordinarios.
Como el rayo incidente es:
˘
S = cosαˆx + sinα sinδˆy + sinα cosδˆz (16)
entonces el campo incidente se puede escribir como:
~
E = −
S
y
S
x
E
y
+
S
z
S
x
E
z
ˆx + E
y
ˆy + E
z
ˆz (17a)
~
H =
1
√
µ
− S
z
E
y
ˆx + S
x
E
y
ˆz −
−
S
x
E
z
+ S
z
S
y
S
x
E
y
+
S
z
S
x
E
z
ˆy
(17b)
mientras que los campos reflejados se calculan de la misma
manera teniendo en cuenta que las componentes ˆx de
˘
S son
del signo opuesto.
~
E
∗
=
S
y
S
x
E
∗
y
+
S
z
S
x
E
∗
z
ˆx + E
∗
y
ˆy + E
∗
z
ˆz (18a)
~
H
∗
=
1
√
µ
− S
z
E
∗
y
ˆx − S
x
E
∗
y
ˆz +
+
S
x
E
∗
z
+ S
z
S
y
S
x
E
∗
y
+
S
z
S
x
E
∗
z
ˆy
(18b)
Las componentes tangenciales de los campos
~
E y
~
H en la
interfaz son continuas, as
´
ı como las componentes normales
de
~
D y
~
B. De acuerdo a la Figura 2 la normal a la interfaz
es ˆx y estas condiciones pueden escribirse como
(
~
D
2
−
~
D
1
) · ˆx = 0 (19a)
(
~
B
2
−
~
B
1
) · ˆx = 0 (19b)
ˆx × (
~
E
2
−
~
E
1
) = 0 (19c)
ˆx × (
~
H
2
−
~
H
1
) = 0 (19d)
donde el supra
´
ındice 1 indica a los campos totales en el
medio desde el que incide la onda y el supra
´
ındice 2 a los
campos transmitidos.
Si una onda plana incide en una interfaz is
´
otropo-uniaxial
habr
´
a una onda reflejada en la direcci
´
on
˘
S
∗
que forma
un
´
angulo α con la normal; pero la existencia de dos
velocidades de fase en el medio uniaxial da lugar a la
posibilidad de que aparezcan dos ondas refractadas: la onda
ordinaria con normal al frente de ondas
˘
N
o
y velocidad de
fase u
o
y la onda extraordinaria con normal al frente de
onda
˘
N
e
y velocidad de fase u
00
.
Aplicando las condiciones de contorno (19) se obtiene
~
D · ˆx +
~
D
∗
· ˆx =
~
D
o
· ˆx +
~
D
e
· ˆx (20a)
~
E · ˆy +
~
E
∗
· ˆy =
~
E
o
· ˆy +
~
E
e
· ˆy (20b)
~
E · ˆz +
~
E
∗
· ˆz =
~
E
o
· ˆz +
~
E
e
· ˆz (20c)
~
H · ˆy +
~
H
∗
· ˆy =
~
H
o
· ˆy +
~
H
e
· ˆy (20d)
donde los campos con un asterisco indican que corre-
sponden a la onda reflejada, y los sub
´
ındices o y e que
corresponde a la ordinaria y extraordinaria respectivamente.
Para simplificar los c
´
alculos se propone otro sistema de
coordenadas llamado sistema de incidencia. En este sistema
el plano ˆx,
ˆ
t es el plano que contiene al rayo incidente y el
plano ˆσ,
ˆ
t es el plano que separa ambos medios. El sistema
de ecuaciones (20) puede ser escrito en funci
´
on de los rayos
(
˘
S y
˘
S
∗
) y las normales a los frente de onda (
˘
N
o
y
˘
N
e
):
˘
S
∗
· ˆσ = 0 (21a)
˘
S
∗
·
ˆ
t =
˘
S ·
ˆ
t (21b)
1
u
o
(
˘
N
o
· ˆσ) = 0 (21c)
1
u
o
(
˘
N
o
·
ˆ
t) =
1
u
(
˘
S ·
ˆ
t) (21d)
1
u
00
(
˘
N
e
· ˆσ) = 0 (21e)
1
u
00
(
˘
N
e
·
ˆ
t) =
1
u
(
˘
S ·
ˆ
t) (21f)
A partir de las ecuaciones (21a) y (21b) se muestra que
el rayo reflejado est
´
a contenido en el plano de incidencia,
siendo el
´
angulo de incidencia igual al
´
angulo de reflexi
´
on
(a menos de un signo).
Partiendo las ecuaciones (21c) y (21d) se puede deter-
minar la direcci
´
on de la normal refractada ordinaria donde,
como en las interfaces entre medios is
´
otropos, resulta
sin β
o
=
n
n
o
sin α (22)
siendo β
o
el
´
angulo entre la normal a la interfaz y la onda
refractada ordinaria (Figura 2).
Revista elektron, Vol. 3, No. 2, pp. 103-111 (2019)
ISSN 2525-0159
106
http://elektron.fi.uba.ar
La ecuaci
´
on (21e) indica que la normal al frente de ondas
extraordinario tambi
´
en pertenece al plano de incidencia, de
manera que
˘
N
e
= (
˘
N
e
·
ˆ
t)
ˆ
t + (
˘
N
e
· ˆx)ˆx (23)
y a partir de la ecuaci
´
on (21f) se puede obtener una ley de
Snell generalizada [27]
sin β
e
=
n
n
00
sin α (24)
donde n
00
ser
´
a el cociente entre la velocidad de fase de la
luz en el vac
´
ıo y la velocidad de propagaci
´
on de la onda
extraordinaria, ecuaci
´
on (13), y depender
´
a de la direcci
´
on
de propagaci
´
on de la onda seg
´
un
n
00
=
n
o
n
e
n
2
o
+ (n
2
e
− n
2
o
)(
˘
N
e
· ˆz
3
)
2
1/2
(25)
Puede tambi
´
en hallarse la relaci
´
on de dispersi
´
on, que para
la onda ordinaria resulta
k
2
ox
+ k
2
y
+ k
2
z
= k
2
o
= µω
2
o
(26)
mientras que para la onda extraordinaria corresponde a [28]
k
2
ex
h
x
+ 2k
ex
k
ez
h
xz
+ n
2
o
k
2
y
+ k
2
z
h
z
= µω
2
n
2
o
n
2
e
(27)
donde se us
´
o que k
oy
= k
ey
= k
y
y k
oz
= k
ez
= k
z
y se
us
´
o la notaci
´
on de la Ref. [29]
h
x
=
h
n
2
o
(ˆz
3
· ˆz)
2
+ n
2
e
(ˆz
3
· ˆx)
2
i
(28a)
h
xz
=
n
2
e
− n
2
o
(ˆz
3
· ˆz) (ˆz
3
· ˆx) (28b)
h
z
=
h
n
2
o
(ˆz
3
· ˆx)
2
+ n
2
e
(ˆz
3
· ˆz)
2
i
(28c)
Si bien de (27) se obtienen dos soluciones para k
ex
, la
condici
´
on de que la energ
´
ıa se propague en la direcci
´
on ˆx
positiva lleva a [13]
k
ex
=
−k
z
h
xz
+
q
(n
2
e
k
2
o
− n
2
o
k
2
y
)h
x
− n
2
o
n
2
e
k
2
z
h
x
(29)
Se definen los coeficientes de reflexi
´
on y transmisi
´
on
como la relaci
´
on entre los modos propios del medio is
´
otropo
(s y p) y los del cristal uniaxial (o y e):
E
∗
s
E
∗
p
=
R
ss
R
ps
R
sp
R
pp
·
E
s
E
p
(30a)
E
T
o
E
T
e
=
T
so
T
po
T
se
T
pe
·
E
s
E
p
(30b)
A continuaci
´
on se presentan las soluciones anal
´
ıticas para
los campos reflejados y transmitidos en interfaces de este
tipo en dos situaciones: cuando el eje
´
optico est
´
a contenido
en el plano de incidencia (δ = 0
◦
) y cuando el eje
´
optico
es perpendicular al plano de incidencia (δ = 90
◦
y θ =
0
◦
). Estos planos se llaman planos principales del cristal y
los modos ordinario y extraordinario son ortogonales. En
la primera geometr
´
ıa (δ = 0
◦
) el modo ordinario es s y
el extraordinario p; mientras que en el otro plano principal
(δ = 90
◦
) el ordinario es p y el extraordinario es s.
B. Eje
´
optico contenido en el plano de incidencia
Si una onda incide desde un medio is
´
otropo y est
´
a
contenida en este plano principal (fig 2)
ˆ
t coincide con ˆy y
ˆσ coincide con ˆz; adem
´
as el eje
´
optico verifica que:
ˆz
3
= −senθ ˆx + cosθ ˆz (31)
Resolviendo la ecuaci
´
on (11) para el caso ordinario (v =
u
o
):
~
D
o
· ˆz
1
=
~
D
o
· ˆz
3
= 0 (32a)
~
D
o
· ˆz
2
=
~
D
o
· ˆy (32b)
se llega a que solo hay campo el
´
ectrico ordinario en la
direcci
´
on ˆy y magn
´
etico en ˆx y ˆz
~
E
o
= E
oy
ˆy (33a)
~
H
o
=
1
µω
(−k
z
E
oy
ˆx + k
ox
E
oy
ˆz) (33b)
y para el caso extraordinario (v = u
00
) la ecuaci
´
on
caracter
´
ıstica queda:
~
D
e
· ˆz
2
= 0 (34a)
~
D
e
· ˆz
1
= −
˘
N
e
· ˆz
3
˘
N
e
· ˆz
1
~
D
e
· ˆz
3
(34b)
Haciendo todo lo mismo para el extraordinario se llega a
~
E
e
= E
ex
ˆx + Γ
e
E
ex
ˆz (35a)
~
H
e
=
1
µω
(k
z
− k
ex
Γ
e
) E
ex
ˆy (35b)
con Γ
e
= (h
x
k
ex
+ h
xz
k
z
) / (h
xz
k
ex
+ h
z
k
z
) y
˘
R
e
se
calcula usando la ecuaci
´
on (15).
Los coeficientes de reflexi
´
on y transmisi
´
on definidos en
(30) resultan
R
ss
=
k
x
− k
ox
k
ox
+ k
x
(36a)
R
pp
=
n
2
(h
x
k
ex
+ h
xz
k
z
) − k
ex
n
2
o
n
2
e
n
2
(h
x
k
ex
+ h
xz
k
z
) + k
ex
n
2
o
n
2
e
(36b)
T
ss
=
2k
x
k
ox
+ k
x
(36c)
T
pp
=
2n
2
(h
x
k
ex
+ h
xz
k
z
)
n
2
(h
x
k
ex
+ h
xz
k
z
) + n
2
o
n
2
e
k
ex
(36d)
R
ps
= R
sp
= T
ps
= T
sp
= 0 (36e)
Se observa que en esta situaci
´
on los modos est
´
an sep-
arados; el campo extraordinario solo depende del campo
incidente polarizado en p y el campo ordinario solo del
campo incidente polarizado en s. Esta separaci
´
on de modos
no se da en el caso m
´
as general. Adem
´
as, los coeficientes de
reflexi
´
on y transmisi
´
on asociados al modo ordinario (ecs. 36)
son id
´
enticos al caso de una interfaz is
´
otropo-is
´
otropo para
la polarizaci
´
on s con
´
ındice de refracci
´
on n
o
. En cambio el
resultado para la polarizaci
´
on p no puede ser asociada a un
medio is
´
otropo.
Revista elektron, Vol. 3, No. 2, pp. 103-111 (2019)
ISSN 2525-0159
107
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C. Eje
´
optico perpendicular al plano de incidencia
En este caso,
ˆ
t coincide con ˆy y ˆσ coincide con ˆz y usando
la ecuaci
´
on (16) con δ = 0 se observa que
˘
S · ˆz = 0; por
otro lado el eje
´
optico verifica que
ˆz
3
= ˆx (37)
Resolviendo la ecuaci
´
on (20) y usando que
~
k ·
~
E = 0, se
llega a
−
k
y
k
x
E
y
+
k
y
k
x
E
∗
y
= −
k
oy
k
ox
o
E
oy
(38a)
E
y
+ E
∗
y
= E
oy
(38b)
E
z
+ E
∗
z
= E
ez
(38c)
−k
x
E
z
+ k
x
E
∗
z
= −k
ex
E
ez
(38d)
resolviendo se llega a que la onda ordinaria es
~
E
o
= −
k
oy
k
ox
E
oy
ˆx + E
oy
ˆy (39a)
~
H
o
=
ω
o
k
ox
E
oy
ˆz (39b)
˘
R
o
=
˘
N
o
= cosβ
o
ˆx + senβ
o
ˆz (39c)
y la onda extraordinaria
~
E
e
= E
ez
ˆz (40a)
~
H
e
=
1
µω
(k
ey
E
ez
ˆx − k
ex
E
ez
ˆy) (40b)
˘
N
e
= cosβ
e
ˆx + senβ
e
ˆz (40c)
Para este caso los coeficientes de reflexi
´
on y transmisi
´
on
definidos en (30) resultan
R
ss
=
k
x
− k
ex
k
x
+ k
ex
(41a)
R
pp
=
n
2
k
ox
− n
2
o
k
x
n
2
o
k
x
+ n
2
k
ox
(41b)
T
ss
=
2k
x
k
x
+ k
ex
(41c)
T
pp
=
2n
2
k
ox
n
2
k
ox
+ n
2
o
k
x
(41d)
R
ps
= R
sp
= T
ps
= T
sp
= 0 (41e)
III. DESCRIPCI
´
ON DE LA HERRAMIENTA
COMPUTACIONAL
Se desarroll
´
o un c
´
odigo num
´
erico que, a partir de la
direcci
´
on de propagaci
´
on del rayo incidente, su polarizaci
´
on
y su amplitud, calcula los campos reflejados y transmitidos
a trav
´
es de una interfaz entre un medio is
´
otropo y uno
uniaxial. El programa admite una direcci
´
on arbitraria para el
rayo incidente, para el eje
´
optico y valores de los indices de
refracci
´
on del medio is
´
otropo, principal ordinario y principal
extraordinario.
Se parte de una onda que incide con una dada direcci
´
on
de propagaci
´
on
˘
N desde un medio is
´
otropo y polarizaci
´
on
lineal arbitraria. La onda incide desde un medio con
´
ındice
de refracci
´
on n a un medio uniaxial que tiene
´
ındices
principales ordinario n
o
y extraordinario n
e
y direcci
´
on del
eje
´
optico arbitraria. El rayo incidente forma un
´
angulo α
con la normal a la interfaz y el plano de incidencia forma
un
´
angulo δ con respecto al plano xz (Figura 2).
El software desarrollado trabaja con el campo el
´
ectrico,
mientras que las condiciones de contorno ecuaciones (19)
requieren conocer los vectores desplazamiento y campo
magn
´
etico. Es posible relacionar a estos con el campo
el
´
ectrico utilizando las relaciones constitutivas (2b) as
´
ı como
la ecuaci
´
on (9b). De esta manera es posible escribir las
condiciones de contorno
´
unicamente con las componentes
del campo el
´
ectrico como inc
´
ognita.
El programa utiliza el sistema de coordenadas fijo al
laboratorio xyz y no la de los planos principales para
obtener los resultados. El tensor diel
´
ectrico
¯
¯ en el sistema
xyz puede obtenerse rotando el mismo escrito en el sistema
de ejes principales.
¯
¯ =
¯
¯
Q ·
o
0 0
0
o
0
0 0
e
·
¯
¯
Q
T
(42)
donde
¯
¯
Q es la matriz de rotaci
´
on del sistema xyz al de los
planos principales z
1
z
2
z
3
¯
¯
Q =
ˆx · ˆz
1
ˆy · ˆz
1
ˆz.ˆz
1
ˆx · ˆz
2
ˆy · ˆz
2
ˆz.ˆz
3
ˆx · ˆz
3
ˆy · ˆz
3
ˆz.ˆz
3
Si
~
E
i
,
~
E
∗
,
~
E
o
y
~
E
e
los campos el
´
ectricos incidente, reflejado
y transmitido ordinario y extraordinario;
˘
N,
˘
N
∗
,
˘
N
o
y
˘
N
e
las normales a los frente de onda de las ondas incidente,
reflejada, transmitida ordinaria y extraordinaria.
Para conocer los campos
~
E
∗
,
~
E
o
y
~
E
e
se requieren
9 ecuaciones y para relacionar los campos el
´
ectricos con
los magn
´
eticos es necesario conocer las normales a los
frentes de onda
ˆ
N
∗
,
ˆ
N
o
y
ˆ
N
e
que requieren 6 ecuaciones
adicionales. Las condiciones de contorno (19) proporcionan
4 ecuaciones; la ecuaci
´
on caracter
´
ıstica (11) 2 ecuaciones
cuando u = u
o
y otras 2 cuando u = u
00
; 1 ecuaci
´
on
proviene de que para el campo reflejado en el medio is
´
otropo
vale:
˘
N
∗
.
~
E
∗
= 0 (43)
Las ecuaciones restantes provienen del hecho que las nor-
males a los frente de ondas est
´
an en el plano de incidencia
y de la ley de Snell (22) y la ley de Snell generalizada (24).
No obstante, la ley de Snell generalizada no es suficiente
para conocer
ˆ
N
e
, ya que esta ecuaci
´
on est
´
a multivaluada.
Es por esto que la ecuaci
´
on (24) se resuelve num
´
ericamente
usando la librer
´
ıa de Phyton numpy. Para conocer cu
´
al de
las soluciones que se obtiene es la que tiene sentido f
´
ısico
deben calcularse
˘
S
e
para saber cu
´
al de las soluciones es
la asociada a un rayo transmitido que vaya en sentido ˆx
positivo.
IV. VERIFICACI
´
ON DEL FUNCIONAMIENTO
La verificaci
´
on del correcto funcionamiento de las rutinas
num
´
ericas se realiz
´
o a trav
´
es de la comprobaci
´
on de los
resultados anal
´
ıticos de las direcciones de las normales
de los frentes de onda y los rayos asociados cuando la
incidencia se produce en el plano principal que contiene al
eje
´
optico, y de los coeficientes de reflexi
´
on y transmisi
´
on
para interfaces is
´
otropo-uniaxial cuando la incidencia se
produce en cualquiera de los planos principales.
Revista elektron, Vol. 3, No. 2, pp. 103-111 (2019)
ISSN 2525-0159
108
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Fig. 3.
´
Angulo de transmisi
´
on en una capa is
´
otropo - uniaxial para la
direcci
´
on de avance del frente de onda extraordinario (azul) y el rayo (rojo).
El medio is
´
otropo es aire y el cristal es calcita. Los puntos son soluciones
num
´
ericas y las lineas pintadas las soluciones te
´
oricas. a) n = 1, b) n =
1.5, c) n = 1.57, d) n = 1.7231
A. C
´
alculo de normales a los frentes de onda y rayos
Si se considera el caso particular en el que el eje
´
optico
est
´
a contenido en el plano de incidencia, se puede comparar
el
´
angulo que forma la normal al frente de onda ordinario
˘
N
o
, extraordinario
˘
N
e
y del rayo extraordinario
˘
S
e
con la
normal a la interfaz ˆx te
´
oricos con los resultados num
´
ericos.
Para las figuras (3a), (3b), (3c) y (3d) se consider
´
o al eje
´
optico en el plano de incidencia formando un
´
angulo de
45
◦
con la interfaz (θ = −45
◦
) e
´
ındices principales n
e
=
1.4864 y n
o
= 1.6584. En todos los casos se observa la
coincidencia entre los valores anal
´
ıticos y los num
´
ericos.
En la figura (3a) calculada con n = 1 se observa que los
´
angulos que forman el rayo y la normal al frente de ondas
extraordinarios son de signo contrario en un intervalo de
α = 0
◦
a 10
◦
. En este intervalo las componentes paralelas a
la interfaz de los rayos incidente y refractado son de signo
opuesto, fen
´
omeno conocido como birrefringencia negativa
[13]. En cambio, para el resto de los
´
angulos de incidencia,
el rayo incidente y el rayo transmitido est
´
an contenidos en
distintos semiplanos de incidencia.
La figura (3b) muestra el mismo resultado cuando el
medio desde el cual incide la luz es un vidrio de
´
ındice
n = 1.5 a 632.8nm (CORNING, EAGLE XG). A pesar de
que n < n
e
, no existe
´
angulo de reflexi
´
on total para el rayo
extraordinario pero s
´
ı se observa el fen
´
omeno de refracci
´
on
negativa.
Cuando n = 1.57 (SCHOTT, BaK), el rayo extraordinario
tampoco llega a sufrir reflexi
´
on total y tambi
´
en existe
refracci
´
on negativa para
´
angulos de incidencia positivos
pr
´
oximos a la incidencia normal (3c). En esta figura tambi
´
en
puede observarse que para
´
angulos de incidencia negativos
la normal al frente de ondas extraordinario puede formar
un
´
angulo mayor a 90
◦
(es decir, su direcci
´
on es tal que
la normal de la onda refractada se orienta hacia el medio
is
´
otropo) aunque, como corresponde f
´
ısicamente, el sentido
de propagaci
´
on de la energ
´
ıa es el esperado. Este fen
´
omeno
es conocido como onda en retroceso.
Por
´
ultimo, en la figura (3d) se eligi
´
o n = 1.7231
(SCHOTT, N-SF10). Para este material se produce reflexi
´
on
total extraordinaria para
´
angulos de incidencia |α| > 66.05
◦
,
mientras que la normal al frente de ondas se hace rasante
para |α| = 65.3
◦
. Para
´
angulos de incidencia comprendidos
entre 65.30
◦
y 66.05
◦
hay rayo refractado y onda en
retroceso. Cuando el
´
angulo de incidencia es mayor que el
de reflexi
´
on total extraordinaria, el rayo es rasante mientras
que la normal al frente de ondas resulta complejo. El otro
plano principal no brinda informaci
´
on ya que no existe onda
en retroceso ni refracci
´
on negativa.
B. C
´
alculo de coeficiente de reflexi
´
on y transmisi
´
on
Pueden compararse los coeficientes de transmisi
´
on y
reflexi
´
on calculados a partir de las ecuaciones (36) con los
resultados num
´
ericos de los campos.
Si se incide desde el aire (n = 1) a un cristal de calcita
para el caso en que el eje
´
optico est
´
a contenido en el plano
de incidencia los resultados se muestran en la figura (4).
Las l
´
ıneas azules corresponde a los resultados anal
´
ıticos y
los puntos son datos num
´
ericos; se puede observar que los
valores coinciden.
En la Figura (5) se grafican los coeficientes de reflexi
´
on
y transmisi
´
on para el caso de una interfaz vidrio denso
(n = 1.7) - calcita para el caso en que el eje
´
optico est
´
a
contenido en el plano de incidencia. Se observa que hay
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Fig. 4. Coeficientes de reflexi
´
on y transmisi
´
on en una interfaz aire-calcita
con δ = 0
◦
con θ = 45
◦
en funci
´
on del
´
angulo de incidencia.
reflexi
´
on total y que las ondas ordinaria y extraordinaria
muestran el fen
´
omeno en un
´
angulo distinto. El
´
angulo
de reflexi
´
on total ordinario es α
o
T
≈ 60.94
◦
y el
´
angulo
de reflexi
´
on total extraordinario es α
e
T
≈ 67.62
◦
. Ambos
valores hallados coinciden con los resultados te
´
oricos.
Si en cambio se incide desde un medio is
´
otropo (aire)
a calcita con el eje
´
optico a 90
◦
del plano de incidencia,
paralelo a la interfaz (θ = 0
◦
), la comparaci
´
on de los
coeficientes se muestran en la Figura 6)
En este plano principal tambi
´
en puede darse que haya
reflexi
´
on total si el
´
ındice del medio is
´
otropo es mayor a
los
´
ındices principales del cristal (Figura 7). Si n = 1.7
el
´
angulo de reflexi
´
on total extraordinaria es 77.24
◦
, y el
´
angulo de reflexi
´
on total ordinaria es 60.94
◦
. Ambos valores
coinciden con los resultados te
´
oricos.
Encontramos en todos los casos analizados que cuando
se incide en uno de los planos principales, los coeficientes
de transmisi
´
on T
ss
y T
pp
hallados de manera anal
´
ıtica
coinciden con los resultados num
´
ericos.Asimismo, se logr
´
o
reproducir los
´
angulos cr
´
ıticos de reflexi
´
on total interna
en interfaces is
´
otropo-uniaxial en ambos planos principales
(figs 5 y 7). De la coincidencia de las direcciones de las
normales a los frente de ondas y rayos asociados y los coe-
ficientes de reflexi
´
on y transmisi
´
on para interfaces is
´
otropo-
uniaxial para los planos principales y la obtenci
´
on de
los distintos
´
angulos cr
´
ıticos en interfaces is
´
otropo-uniaxial
podemos inferir que el programa funciona correctamente.
V. CONCLUSIONES
En este trabajo hemos realizado una descripci
´
on de la re-
flexi
´
on y transmisi
´
on de la luz a trav
´
es de una interfaz medio
Fig. 5. Coeficientes de reflexi
´
on y transmisi
´
on para una interfaz vidrio
denso-calcita con n = 1.7, δ = 0
◦
con θ = 45
◦
en funci
´
on del
´
angulo de
incidencia.
Fig. 6. Coeficientes de reflexi
´
on y transmisi
´
on para una interfaz aire-calcita
con n = 1, δ = 90
◦
con θ = 0
◦
en funci
´
on del
´
angulo de incidencia.
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Fig. 7. Coeficientes de reflexi
´
on y transmisi
´
on para una interfaz vidrio
denso-calcita con n = 1.7, δ = 90
◦
con θ = 0
◦
en funci
´
on del
´
angulo de
incidencia. Se observa el fen
´
omeno de reflexi
´
on total
is
´
otropo-anis
´
otropo uniaxial para distintas caracter
´
ısticas del
material is
´
otropo y direcci
´
on de incidencia del haz respecto
a la del eje
´
optico. Esta descripci
´
on est
´
a fundamentada
en la resoluci
´
on anal
´
ıtica de las Ecuaciones de Maxwell
y obteniendo expresiones expl
´
ıcitas de los coeficientes de
reflexi
´
on y transmisi
´
on para los casos en que el plano de
incidencia coincide con uno de los planos principales del
medio uniaxial.
Se comprob
´
o que los valores obtenidos con el c
´
odigo de-
sarrollado reproducen con precisi
´
on los resultados anal
´
ıticos,
observ
´
andose el fen
´
omeno de refracci
´
on negativa, onda
en retroceso y la coincidencia en la determinaci
´
on de los
´
angulos de reflexi
´
on total.
Estos resultados sirven, adem
´
as, como primeras pruebas
de un software que se est
´
a desarrollando en nuestro grupo de
investigaci
´
on para determinar las caracter
´
ısticas de las ondas
incidentes reflejadas y transmitidas a trav
´
es de un bloque de
material uniaxial.
Se espera que el desarrollo completo de este software
facilite la descripci
´
on del comportamiento de ondas elec-
tromagn
´
eticas en medios uniaxiales brindando no solo las
direcciones de propagaci
´
on sino tambi
´
en todas las carac-
ter
´
ısticas de los campos asociados a
´
un cuando se trate de
haces limitados en el espacio y/o en el tiempo.
AGRADECIMIENTOS
Este trabajo fue realizado con el apoyo parcial de los
siguientes subsidios: 20020160100042BA- UBACYT 2017-
2020, 20020170200232BA -UBACYT 2018-2019, PICT
2016 N
◦
2204. El Sr. Germ
´
an Caro (estudiante de la
licenciatura en Ciencias F
´
ısicas de la FCEN-UBA) realiz
´
o
este trabajo con el aporte de una Beca Est
´
ımulo 2017-2018
(UBA).
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