Deformaciones de Haces Cilíndricos y Cónicos al
atravesar una Placa Plano-Paralela de Cristal
Uniaxial
Deformations of Cylindrical and Conical Beams Transmitted through a Uniaxial Crystal
Parallel-Plane Plate
Francisco E. Veiras
#*1
, Liliana I. Perez
#&2
#
Grupo de Láser, Óptica de Materiales y Aplicaciones Electromagnéticas, Departamento de Física, Facultad de Ingeniería,
Universidad de Buenos Aires
Av. Paseo Colón 850 – (C1063ACV) CABA – Argentina
*
Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas
&
Universidad de Buenos Aires. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Instituto de Tecnologías y
Ciencias de la Ingeniería "Hilario Fernández Long". Facultad de Ingeniería.
1
fveiras@fi.uba.r
2
lperez@fi.uba.ar
Abstract— One of the most used tools in optics is ray tracing,
due to the fact that is a fundamental tool for optic instruments
design. In this work we analyze the successive deformations
that both cylindrical (first order approximation of a collimated
beam) and conical (first order approximation of a converging
or divergent beam) beams suffer when they impinge normal to
a uniaxial crystal plane-parallel plate and go through the
different interfaces. This is accomplished by following the path
of each incident ray on the first interface. The ray tracing for
the ordinary beam is the same as in isotropic media, but the
extraordinary beam ray tracing is more difficult, for these rays
are no longer contained in the incidence plane and their
directions are different from those of the corresponding
normals to the wavefront. We also analyze the loss of
revolution symmetry of the beams and the image formation.
Keywords: anisotropic optical materials; image formation
theory; integrated optics components.
Resumen— Una de las herramientas más usadas en la
óptica es el trazado de rayos ya que es la herramienta
fundamental para el diseño de todo instrumento óptico. En este
trabajo se analizan las sucesivas deformaciones que un haz
cilíndrico (modelo a primer orden de un haz colimado) y un
haz cónico (modelo a primer orden de un haz divergente o
convergente), que inciden normalmente sobre una placa plano-
paralela de cristal uniaxial, sufren a medida que van
atravesando las distintas interfaces. Esto se hace siguiendo el
camino de cada rayo incidente sobre la primera interfaz. El
trazado de rayos para los rayos ordinarios es igual al trazado
de rayos en medios isótropos. El trazado de rayos
extraordinario, en cambio, presenta más dificultad ya que los
rayos no están contenidos en el plano de incidencia y no
coinciden con las normales a los frentes de onda. Se analizan
también la pérdida de simetría de revolución de los haces y la
formación de las sucesivas imágenes.
Palabras clave: materiales ópticos anisótropos; teoría de
formación de imágenes; componentes para óptica integrada.
I. INTRODUCCIÓN
Los fenómenos ópticos que pueden observarse
a través de una placa plano-paralela con
anisotropía eléctrica son de una sorprendente
multiplicidad: doble imagen en un cristal de
calcita naturalmente clivado (birrefringencia),
desaparición de una de las imágenes al girar la
placa si se miran a través de un polarizador
(polarización), cambio del estado de polarización
de la luz al atravesarla (retardo de fase),
producción de figuras de interferencia, etc. A
pesar de ser conocidos desde el siglo XVII [1] el
estudio de las propiedades de este tipo de medios
sigue planteando una imprevisible cantidad de
interrogantes y cada día aparecen nuevos recursos
para posibles aplicaciones tecnológicas.
Si una onda plana incide sobre la superficie de
separación entre un medio isótropo y otro
anisótropo, existirán, en general, una onda
reflejada y dos ondas transmitidas. Para
determinados tipos de medios anisótropos,
llamados uniaxiales, las ondas transmitidas son
denominadas onda ordinaria y onda extraordinaria
y, en general, tienen distintas direcciones y
velocidades de propagación. Este comportamiento
se puede explicar considerando que un medio
uniaxial tiene dos índices de refracción (llamados
índices de refracción principales ordinario
o
n
y
extraordinario
e
n
) y una dirección preferencial en
el espacio, denominada eje óptico
3
z
. La velocidad
Revista elektron, Vol. 2, No. 1, pp. 16-25 (2018)
ISSN 2525-0159
16
Recibido: 17/05/18; Aceptado: 09/06/18
Argentina.
de fase de la onda ordinaria (que da lugar al índice
de refracción principal ordinario) resulta
independiente de la dirección de propagación, En
cambio, la velocidad de fase de la onda
extraordinaria (que da lugar a un índice de
refracción extraordinario) depende no sólo de los
índices principales
o
n
y
e
n
sino también de la
dirección de propagación de la onda respecto al
eje óptico. A pesar de estas particularidades es
posible encontrar una expresión para la Ley de
Snell tanto para la refracción ordinaria (idéntica a
la de medios isótropos) como para la refracción
extraordinaria. En este último caso, la expresión
resultante tiene la particularidad de que tanto el
índice de refracción extraordinario como el
ángulo de refracción dependen de los índices
principales y de la dirección del eje óptico. Esta
particularidad lleva a que la dirección de
propagación de la onda extraordinaria no coincida
con la dirección de avance de la energía asociada
(Fig.1). Para interfaces formadas por un medio
uniaxial y uno isótropo, se tienen en cuenta las
mismas consideraciones [2,3].
En varios trabajos anteriores se han abordado
problemas relacionados con la formación de
imágenes [2-6, 7], con el camino óptico [8,9] y las
figuras de interferencia [10,11] para distintos
cortes del cristal. En los últimos años hemos
obtenido expresiones analíticas generales [12, 13]
que han permitido el desarrollo de polarímetros
solares [14] e interferómetros para diagnóstico de
plasma [15, 16]. Asimismo, los estudios de
patrones de interferencia conoscópicos [17] nos
han permitido desarrollar moduladores y
demoduladores de fase birrefringentes [18, 19,
20].
Cuando se consideran modelos de haces de luz
monocromáticos y limitados en el espacio como
superposición de infinitas ondas planas
(componentes de Fourier escalares o vectoriales),
aparecen distintos efectos en la propagación,
reflexión y transmisión en medios isótropos o
anisótropos, lineales o no lineales, dieléctricos o
absorbentes. Sin embargo, en todos los casos, los
efectos de primer orden se corresponden con los
obtenidos a partir de los modelos de óptica
geométrica (considerándolos manojos de rayos
más o menos complejos) [12].
Aquí presentamos un análisis de las
deformaciones que sufren determinados manojos
de rayos, cuando atraviesan una placa plano-
paralela de cristal uniaxial, teniendo en cuenta
sólo el trazado de rayos.
En primer lugar se presentan en forma resumida
las fórmulas necesarias para calcular las
direcciones de los rayos refractados en las
interfaces que delimitan las placas plano-paralelas
construidas con materiales dieléctricos uniaxiales.
Luego se muestran y analizan las deformaciones
sufridas por dos tipos de haces tridimensionales
sobre estos tipos de placas cuando la dirección de
onda media es normal a la placa. Primero se trata
el caso más sencillo que corresponde a un haz
cilíndrico (que corresponde al modelado de un
haz colimado) y, luego a un haz cónico cuyo
punto de convergencia (real o imaginario) es
totalmente arbitrario (modelado de un haz
proveniente de una fuente puntual o de una lente
objetivo).
Fig.1. Sistemas de coordenadas. (a) Interfaz medio isótropo-cristal uniaxial.
El eje óptico
3
z
forma un ángulo
ϑ
con la interfaz y un ángulo
δ
con el
plano de incidencia. (b) Plano de incidencia (c) Plano que corresponde a
una interfaz.
n
3
z
2
yz≡
S
t
σ
α
*
S
n
o
, n
e
e
N
oo
RN
≡
ϑ
x
z
e
R
δ
e
β
o
β
e
ρ
δ
t
z
σ
2
z
δ
t
x
o
β
e
β
o
N
e
N
α
S
n
oe
n ,n
(a)
(b) (c)
α
−
*
S
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II. LA TRANSMISIÓN A TRAVÉS DE UNA PLACA PLANO-
PARALELA UNIAXIAL
La refracción de un rayo de luz que incide en
una placa plano-paralela birrefringente uniaxial,
inmersa en un único medio isótropo de índice de
refracción n, se calcula teniendo en cuenta las dos
interfaces que limitan la placa [21]. En la primera
interfaz, el rayo de luz (de dirección
S
) incide
desde el medio isótropo sobre el cristal uniaxial y
da lugar a dos rayos refractados de direcciones
o
R
(rayo ordinario) y
e
R
(rayo extraordinario) (Fig.
1). En la segunda interfaz estos rayos de luz
inciden desde el cristal y dan lugar en el medio
isótropo a los rayos
o
S
(rayo proveniente del rayo
ordinario) y
e
S
(rayo proveniente del rayo
extraordinario) [2,3,21,23] (Fig. 2). En ella puede
verse en detalle cómo son los corrimientos en
cada una de las superficies: la superficie de salida
de la placa y una arbitraria a una distancia D de
ella.
Para escribir las ecuaciones que dan las
direcciones y posiciones de estos rayos en función
de los parámetros característicos de la placa
(índices de refracción principales
oe
n ,n
y
dirección del eje óptico
3
z
) y de la dirección y
posición del rayo incidente, se define el versor
x
(perpendicular a la placa), el versor
t
(perpendicular a
x
y contenido en el plano de
incidencia) y el versor
σ
(perpendicular a los
otros dos versores) (Fig. 2). De modo que el
versor en la dirección del eje óptico es
( ) ( )
( )
33 3 3
3
sin cos sin cos cos
z xz x z t z t
zx t
σσ
ϑσ ϑ δ ϑ δ
= ⋅+ ⋅+ ⋅
=−− +
(1)
donde
ϑ
es el ángulo que forma el eje óptico con
la interfaz y
δ
es el ángulo que forma el plano de
incidencia con el plano que contiene al eje óptico
y la normal a las interfaces (Fig. 1(c)) [2].
Además, definimos arbitrariamente al eje z como
la proyección del eje óptico sobre la interfaz. Es
decir,
( ) ( )
33 3
3
sin cos
z xzx z zz
zx z
ϑϑ
= ⋅+ ⋅
=−+
(2)
El plano de incidencia queda así definido por el
versor
x
y la dirección del rayo incidente
S
,
donde
( ) ( )
..
cos sin
S x Sx t St
Sx t
αα
= +
= +
(3)
siendo
α
el ángulo de incidencia y estando el
origen de coordenadas en el punto de incidencia
sobre la primera interfaz (Fig.1(a))
Fig.2. Transmisión de un rayo a través de una placa plano-paralela uniaxial.
Abajo, detalles de los corrimientos ordinario y extraordinario sobre la
segunda interfaz y sobre un plano Π que se encuentra a una distancia D de
la placa.
A. Transmisión ordinaria
En una interfaz formada por un medio isótropo
y un cristal uniaxial, la dirección del rayo
refractado ordinario coincide con la normal al
frente de ondas
oo
RN=
( ) ( )
oo o
N xN.x t N.t= +
(4)
donde
o
N
resulta de la Ley de Snell
( )
( )
oo
nSt n N t⋅= ⋅
(5)
El punto de incidencia sobre la segunda interfaz
estará desplazado con respecto al punto de
incidencia de la primera interfaz (Fig. 3b)) en:
S
α
o
β
e
ρ
O
L
O
D
O
o
P
e
P
o
Q
e
Q
e
S
o
S
t
σ
x
3
z
π
t
D
L
L
O
o
P
e
P
'
t
l
''
t
l
''
l
σ
t
σ
D
O
o
Q
e
Q
D tan
α
''
t
d
'
t
d
''
d
σ
t
σ
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( )
1
222
2
0
''
t
o
n sin
lL l
n n sin
σ
α
α
= =
−
(6)
donde L es el espesor de la placa (Fig.2(a) y (b)).
Denotando con
'
y
l
y
'
z
l
a las coordenadas y y z del
punto de incidencia sobre la segunda interfaz, y
haciendo la rotación de coordenadas
correspondiente (Fig.1(c)) se obtienen los
desplazamientos sobre la superficie inferior de la
placa
( )
( )
'
1
222
2
'
1
222
2
sin
sin
sin
sin
cos
sin
y
o
z
o
n
lL
nn
n
lL
nn
α
δ
α
α
δ
α
=
−
=
−
(7)
El rayo ordinario se refracta en la segunda
interfaz dando lugar a uno de los rayos
transmitidos
( ) ( )
oo o
S xS.x t S.t= +
(8)
que tiene la misma dirección que el rayo incidente
S
pero está desplazado con respecto a éste en
'
t
l
.
En un plano paralelo a la placa a una distancia D
de la segunda interfaz (plano Π de la Fig.2), el
punto de intersección del rayo ordinario con dicho
plano Π estará a una distancia del eje x dada por
''
tt
d l Dtan
α
= +
(9)
Fig.3. Sistemas de coordenadas y corrimientos sobre los tres planos
característicos. (a) superficie superior de la placa (interfaz isótropo-
uniaxial) (b) superficie inferior de la placa (interfaz uniaxial-isótropo)
(c)
un plano Π
Es decir que las coordenadas y y z del punto de
incidencia del rayo ordinario sobre el plano Π son
(Fig.3c))
( )
( )
'
1
222
2
'
1
222
2
sin
tan cos
sin
sin
tan sin
sin
y
o
z
o
n
dL D
nn
n
dL D
nn
α
αδ
α
α
αδ
α
= +
−
= +
−
(10)
como resulta de las ecs. (7) y (9).
B. Transmisión extraordinaria
El cálculo de la dirección del rayo refractado
extraordinario es bastante más complicado y
puede encontrarse un desarrollo detallado en
trabajos anteriores [2,3,21,22]. Aquí transcribimos
las fórmulas necesarias para los cálculos
posteriores. Para abreviar la escritura de las
ecuaciones que resultan bastante extensas, se
definieron los siguientes parámetros auxiliares
[22]
( )
( )
2
2 22
3xo eo
h n n n zx=+− ⋅
(11)
( )
( )
2
2 22
3e eo
h n nnz
σ
σ
=−− ⋅
(12)
( )
( )
2
2 22
3to eo
h n n n zt=+− ⋅
(13)
( )
( )
( )
22
33xt e o
h n n zxzt=− ⋅⋅
(14)
( )
( )( )
22
33x eo
h n n zxz
σ
σ
=− ⋅⋅
(15)
( )
( )
( )
22
33t eo
h n n z zt
σ
σ
=− ⋅⋅
(16)
La dirección del rayo refractado extraordinario
se obtiene calculando primero la dirección de la
normal al frente de ondas
e
N
que está contenida
en el plano de incidencia, es decir,
( ) ( )
ee e
N x N.x t N.t= +
(17)
donde para
( )
e
N .t
vale una Ley de Snell
generalizada con un índice de refracción
n
′′
que
depende de la dirección de incidencia
( )
( )
e
n S t n'' N t⋅= ⋅
(18)
y
n
′′
está dado por [21]
( )
(
)
2
2 12 2 2 2
2
1
o xt x
x
n" n h n sin h n sin
h
αα
= ∆− +
(19)
con
2 22
ex
n h h n sin
σ
α
∆= −
(20)
Obtenida la dirección de
e
N
, puede calcularse la
dirección del rayo
e
R
mediante la relación
vectorial [2,20]
( )
( )
( )
2 22
33
1
e oe e o e
e
R nN n n N z z
f
= +− ⋅
(21)
( )
( )
2
2 4 44
3e o eo e
f n n n Nz=+−
(22)
a)
L
O
o
P
e
P
'
t
l
''
t
l
''
l
σ
σ
t
z
y
''
z
l
'
z
l
''
y
l
O
σ
t
z
y
δ
b)
o
Q
''
d
σ
D
O
e
Q
'
t
d
''
t
d
σ
t
z
y
''
z
d
'
z
d
''
y
d
c)
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Las componentes del versor
e
R
que resultan son
( )
12
ox
e
ex
nh
Rx
n'' f h
∆
=
(23)
( )
( )
( )
12
ox o t
e
ex
n h nh nSt
R
n'' f h
σσ
σ
∆+ ⋅
=
(24)
( )
( )
( )
12
o xt o
e
ex
n h nhnSt
Rt
n'' f h
σ
∆+ ⋅
=
(25)
Para la refracción en la segunda interfaz, vale la
Ley de Snell generalizada que toma la forma
( )
( )
ee
n'' N t n S t⋅= ⋅
(26)
de donde resulta, como era de esperar, que el rayo
extraordinario que sale de la placa es paralelo al
rayo incidente y al rayo ordinario. La posición de
este rayo, sin embargo, está dada por el punto de
incidencia del rayo extraordinario sobre la
segunda interfaz cuyas coordenadas
σ
y t estarán
dadas por
( )
( )
( )
( )
ee
'' ''
t
ee
R Rt
lL lL
Rx Rx
σ
σ
= =
(27)
Sus coordenadas y y z resultan de la rotación
de coordenadas (Fig.3)
"" "
"" "
sin cos
cos sin
yt
zt
ll l
ll l
σ
σ
δδ
δδ
= +
= −
(28)
Reemplazando ecs. (23), (24) y (25) en (27) y
(28) se obtiene
( )
1
2
''
2 22
sin sin
sin
o
y
ex
nn
lL
nh hn
σ
αδ
α
=
−
(29)
( )
1
2
2
''
2 22
sin cos
sin
eo
z
x ex
nnn
lL
h nh hn
σ
αδ
α
=
−
(30)
con
( )
22
eo
x
n n sin cos
AL
h
ϑϑ
−
= −
(31)
Es decir, que para un rayo que incide
perpendicularmente a la placa, el rayo refractado
se desvía de la normal con un ángulo
e
η
cuya
tangente está dada por
( )
22
2 2 22
sin cos
tan
cos sin
eo
e
oe
nn
A
nn
ϑϑ
η
ϑϑ
−
= = −
+
(32)
De esta manera, el punto de incidencia sobre la
segunda interfaz estará dado por
""
00
0
yz
l lA
αα
= =
= =
(33)
Una vez transmitido el haz a través de la placa,
las coordenadas del punto de incidencia del rayo
extraordinario sobre el plano Π pueden
determinarse a partir de
""
""
tan sin
tan cos
yy
zz
dlD
dlD
αδ
αδ
= +
= +
(34)
A partir de las ecs. (29), (30) y (34) las
expresiones para dichas coordenadas resultan
( )
1
2
''
2 22
sin
tan sin
sin
o
y
ex
nn
dL D
nh hn
σ
α
αδ
α
= +
−
(35)
( )
1
2
2
''
2 22
sin
tan cos
sin
eo
z
x ex
nnn
dL D A
h nh hn
σ
α
αδ
α
= ++
−
(36)
III. TRANSMISIÓN DE UN HAZ CILÍNDRICO CON INCIDENCIA
NORMAL
Consideremos un conjunto de rayos dispuestos
sobre una superficie cilíndrica de radio r que
incide en forma perpendicular sobre la placa (Fig.
4). Las coordenadas de los puntos de incidencia
en la primera interfaz están dadas por
sin
cos
y
z
lr
lr
δ
δ
=
=
(37)
Fig.4. Transmisión de un haz cilíndrico a través de una placa plano-paralela
uniaxial. Sobre el plano π se observan los haces provenientes del haz
ordinario a) y del extraordinario b)
Como para incidencia perpendicular a la placa,
los rayos ordinarios no se desvían, las
coordenadas de los puntos de incidencia sobre la
,
eo
nn
3
z
a)
b)
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segunda interfaz y sobre el plano Π serán las
mismas que las dadas por la ec.(37), es decir,
''
''
sin
cos
yy
zz
ldr
ldr
δ
δ
= =
= =
(38)
Además, como esto vale para cualquier radio r,
tendremos que un haz cilíndrico que incide
perpendicularmente a la placa da lugar a un haz
trasmitido ordinario de radio
o
rr
=
.
Los rayos extraordinarios, en cambio, sufren
una desviación en la dirección de la proyección
del eje óptico, que para
0
α
=
está dada por las
ecs. (31) y (32). De éstas resulta que las
coordenadas de los puntos de incidencia sobre la
segunda interfaz están dadas por
"
''
sin
cos
y
z
lr
lr A
δ
δ
=
= +
(39)
De la ec.(39) vemos que los puntos de
incidencia sobre la cara inferior de la placa están
sobre una circunferencia de radio
e
r
y con el
centro desplazado en A , es decir,
( )
2
22""
ey z
rl lA=+−
(40)
Los rayos refractados en la cara inferior son
perpendiculares a la placa y los puntos de
incidencia en el plano Π tienen las mismas
coordenadas dadas en ec.(39) independientemente
de la distancia de la placa al plano, es decir
"
''
sin
cos
y
z
dr
dr A
δ
δ
=
= +
(41)
Por lo tanto vemos que un haz cilíndrico que
incida perpendicular a la placa da lugar a dos
haces refractados en el interior de la placa: el
ordinario que tiene la misma forma, dirección y
posición que el incidente; y el extraordinario que
está inclinado un ángulo
e
η
con respecto a la
normal a la placa y cuya intersección con la
segunda interfaz es una circunferencia de radio
igual al del haz incidente. Este haz refractado
resulta en el interior de la placa de forma elíptica
pues la intersección del haz con un plano
perpendicular al haz es una elipse de eje mayor
cos
e
r
a
η
=
y de eje menor
br=
. A la salida de la
placa se obtienen dos haces perpendiculares a la
placa de la misma forma y tamaño que el haz
incidente pero separados en una distancia A dada
por ec.(31) que depende de los índices de
refracción principales del cristal n
o
y n
e
, y de la
dirección del eje óptico de la placa. En las Fig. 5
se muestran los diagramas de los puntos de
incidencia en las dos caras de la placa y en un
plano Π para un cristal negativo (calcita) y para
otro positivo (rutilo) con la misma dirección del
eje óptico (
40
o
ϑ
=
). Se consideraron haces
cilíndricos de
0.5mmr =
incidentes sobre placas
de espesor
1cmL =
, siendo la longitud de onda en
el vacío
632.8 nm
λ
=
.
Figure 5: Diagramas sobre los tres planos característicos para una placa de
calcita (izquierda) y para una de rutilo (derecha). (a) y (d) corresponden a
la cara superior, (b) y (e) a la cara inferior y (c) y (f) a cualquier plano Π.
Los tamaños de los haces ordinario (en azul) y extraordinario (magenta) no
cambian.
IV. TRANSMISIÓN DE UN HAZ CÓNICO
Cuando un haz cónico de apertura
0
α
incide en
la placa de modo que su dirección media es
normal a la placa, cada rayo incidente varía su
punto de incidencia, y el ángulo de incidencia
varía entre 0 y
0
α
. Si consideramos un manojo de
rayos dispuesto sobre una superficie cónica, el
ángulo de incidencia
α
será el mismo para todos
los rayos y los puntos de incidencia estarán dados
por
tan sin
tan cos
yC
yC
l OP
l OP
αδ
αδ
=
=
(42)
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donde
C
OP
es la distancia del punto de
convergencia del haz a la primera interfaz (Fig.6).
Los rayos ordinarios se refractan según la ec.(5)
y los puntos de incidencia sobre la segunda
interfaz están sobre una circunferencia de radio r’.
Teniendo en cuenta las ecs. (7) y (42), resulta
( )
1
222
2
C
o
n sin
r' L OP tan
n n sin
α
α
α
= −
−
(43)
de modo que las coordenadas
'
y
l
y
'
z
l
son
'
'
'sin
'cos
y
z
lr
lr
δ
δ
=
=
(44)
Fig. 6: Proyección sobre un plano de un haz cónico incidente sobre una
placa plano-paralela.
Sobre el plano Π los puntos de incidencia
forman una circunferencia de radio
( )
( )
'
1
222
2
sin
tan
sin
C
o
n
r L D OP
nn
α
α
α
Π
= +−
−
(45)
como resulta de las ecs. (10) y (42). Es decir, las
coordenadas de los puntos de incidencia sobre el
plano Π de los rayos provenientes de la
transmisión ordinaria son
''
''
sin
cos
y
z
dr
dr
δ
δ
Π
Π
=
=
(46)
El punto de convergencia
'
C
D
de estos rayos
trasmitidos resulta de la ec.(45) considerando
'
0
o
r =
( )
'
1
222
2
cos
sin
CC
o
n
D OP L
nn
α
α
= −
−
(47)
que es la misma expresión conocida para el punto
de convergencia de la transmisión de una
superficie cónica de rayos que atraviesa una placa
plano-paralela isótropa. Y como
'
C
D
depende de
α
resulta que, al igual que en las placas isótropas,
los rayos que corresponden a un cono no se
cruzan en un mismo punto.
Para los rayos extraordinarios, los puntos de
incidencia en la segunda interfaz resultan de las
ecs.(29) y (30)
( )
1
2
''
2 22
sin
tan sin
sin
o
yC
ex
nn
l L OP
nh hn
σ
α
αδ
α
= −
−
(48)
( )
1
2
2
''
2 22
sin
tan cos
sin
eo
zC
x ex
nnn
l A L OP
h nh hn
σ
α
αδ
α
−= −
−
(49)
y sobre el plano Π se obtiene, mediante ecs. (35)
y (36)
( )
( )
1
2
''
2 22
sin
tan sin
sin
o
yC
ex
nn
d L D OP
nh hn
σ
α
αδ
α
= +−
−
(50)
( )
( )
1
2
2
''
2 22
sin
tan cos
sin
eo
zC
x ex
nnn
d A L D OP
h nh hn
σ
α
αδ
α
−= + −
−
(51)
Como estas ecuaciones dependen también del
ángulo
δ
, resulta que los rayos provenientes de
una superficie cónica que inciden todos con el
mismo ángulo
α
no se cruzan en un punto como
resultó para los rayos ordinarios. De las ecs.(50)
y (51) se obtienen las distancias
''
Cy
D
y
''
Cz
D
en
los cuales se anulan
''
y
d
y
''
z
dA−
. De esta manera
( )
( )
1
2
'' ''
22
cos
0
sin
eo
y Cy C
xx
nnn
D d D OP L
hh n
α
α
= = = −
−
(52)
( )
( )
( )
1
2
'' ''
222
cos
0
sin
o
z Cz C
xe
nn
D d D OP L
hn n
α
α
= = = −
−
(53)
Consideraremos ahora, como ejemplo, un
manojo de rayos dispuesto sobre una superficie
cónica de ángulo
o
30
α
=
y cuyo vértice o punto
de convergencia se encuentra a una distancia
10
C
OP cm=
de la placa. Los puntos de
intersección de los rayos incidentes sobre la
primera interfaz se encuentran sobre una
circunferencia de radio
5.77r cm=
. Los radios de
las circunferencias sobre la segunda interfaz
resultan de la ec.(43)
' 5.46r cm=
para la calcita
y
' 5.58r cm=
para el rutilo, si el espesor de la
placa es de
1L cm=
. En estas condiciones, los
respectivos puntos de convergencia (ec.(47)) se
encuentran fuera de la placa a distancias
P
C
α
O
C
OP
t
l
t
x
L
oe
n ,n
n
n
0
α
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'
9.45
C
D cm=
y
'
9.66
C
D cm=
para calcita y
rutilo, respectivamente. Para la transmisión
extraordinaria, el haz trasmitido no tiene simetría
de revolución y aparece un astigmatismo de
primer orden [12] a distancias de la placa dadas
por las ecs. (52) y (53). Para la placa de calcita las
posiciones de las imágenes astigmáticas están
dadas por
"
9.48
y
C
D cm=
"
9.37
z
C
D cm=
y para la
de rutilo por
"
9.64
y
C
D cm=
"
9.70
z
C
D cm=
correspondiendo la dirección del eje óptico a
25
o
ϑ
=
en ambas placas. En la Fig.7 se muestran
los diagramas de puntos correspondientes a las
figuras formadas a distintas distancias de la placa,
que corresponden a las distancias de convergencia
respectivas.
Fig. 7: Figuras que corresponden a las imágenes ordinaria y astigmática
extraordinaria a través de una placa de calcita (izquierda) y una de rutilo
(derecha) a distintas distancias de la cara inferior. Las distancias están
presadas en centímetros. Los puntos azules corresponden a rayos ordinarios
y los magenta a rayos extraordinarios.
En la Fig.8 se representan los diagramas de
puntos (para un haz cónico de 30
o
de apertura, con
punto de convergencia
10
C
OP cm=
) sobre la
segunda interfaz y sobre un plano intermedio
entre los planos que corresponden a las imágenes
astigmáticas. Vemos que, sobre la segunda
interfaz, ambos haces están superpuestos pero
quedan separados en la zona en la cual se forman
las imágenes que distan de ser figuras sencillas en
el caso extraordinario.
En un trabajo anterior mostramos que cuando
incide un haz de rayos plano convergente y en
forma de abanico en un punto sobre la primera
interfaz, los rayos refractados extraordinarios
están todos contenidos en un plano que habíamos
denominado plano de refracción [23]. Si
consideramos, ahora, un haz cónico con el punto
de convergencia en la primera interfaz, entonces,
a la superficie cónica de ángulo α le corresponde
una elipse en la segunda interfaz, como surge de
las ecs.(48) y (49) para
0
C
OP =
. Se obtiene así la
ecuación de una elipse con semiejes en las
direcciones y y z
( )
2
''
'' 2
22
1
z
y
lA
l
ab
−
+=
(54)
donde
( )
1
1
2 22
2
2
o
xe
Lnn sin
a
h n n sin
α
α
=
−
(55)
( )
1
22
2
oe
xx
Lnn n sin
b
h h n sin
α
α
=
−
(56)
El tamaño de los semiejes depende no sólo de
los índices de refracción de los medios y de la
apertura del cono sino también de la dirección del
eje óptico de la placa. Sin embargo, el tipo de
elipse depende únicamente de la birrefringencia:
cuando la birrefringencia es positiva, el eje mayor
de la elipse está en la dirección del eje óptico
sobre la interfaz (eje z) mientras que si es negativa
está en la dirección perpendicular (eje y).
De todas maneras, bajo estas condiciones, el
diagrama de puntos sobre cualquier plano Π
resulta no elíptico. Sin embargo, puede obtenerse
una figura elíptica a la salida de la placa ajustando
el plano Π adecuadamente. En efecto, como surge
de las ecs.(50) y (51), si la distancia de la placa al
plano Π se hace igual a la distancia entre la
primera interfaz y el punto de convergencia del
haz incidente (convergencia virtual), se obtendrá
un diagrama de puntos de forma elíptica dado por
( )
2
''
'' 2
22
1
z
y
dA
d
ab
−
+=
(57)
con semiejes dados por las ecs. (55) y (56).
D=9.37 cm
D=9.37 cm
D=9.48 cm D=9.70 cm
D=9.66 cm
D=9.64 cm
0.10
0.05
0.10
0.05
0.0250.025
-0.05
0.03
0.05
0.10
-0.10
0.05
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Fig. 8: Figuras que corresponden a las imágenes ordinarias y
extraordinarias a través de una placa de calcite (izquierda) y de rutilo
(derecha) para un haz cónico de rayos. Los puntos azules corresponden a
los rayos ordinarios y los magenta a los extraordinarios.
V. CONCLUSIONES
De los cálculos efectuados podemos obtener
una descripción cualitativa de las deformaciones
de los haces de luz cilíndricos y cónicos cuando
inciden sobre una placa plano-paralela uniaxial y
la dirección de incidencia media es perpendicular
a la misma. Los tipos de manojos de rayos
analizados fueron elegidos con el propósito de
poder distinguir qué características de los haces
reales son las responsables de los distintos tipos
de deformaciones geométricas.
Para el caso más sencillo, que es un haz
cilíndrico, vimos que los dos haces transmitidos
tienen la misma forma y tamaño que el haz
incidente, pero el haz extraordinario queda
desplazado con respecto al haz ordinario en una
distancia y sentido que depende de la
birrefringencia
eo
nn−
y de la dirección del eje
óptico. Esto ya introduce una pérdida de simetría
de revolución del conjunto de ambos haces
aunque cada haz transmitido sea de contorno
cilíndrico. El comportamiento de los haces
cilíndricos también es de interés especial porque
corresponden a una aproximación de primer orden
de los haces colimados.
Para un haz cónico con incidencia media
normal a la placa, la pérdida de la simetría de
revolución no es sólo del conjunto sino del haz
extraordinario. Es decir, no sólo aparece el
desplazamiento lateral sino una deformación
asimétrica del haz mismo que da lugar a la
imagen astigmática. Los resultados obtenidos para
haces cónicos tridimensionales son de particular
interés para el diseño de sistemas ópticos que
combinen distintos elementos a lo largo del
recorrido de la luz como moduladores y
demoduladores birrefringentes.
AGRADECIMIENTOS
Queremos agradecer a la Dra. María C. Simon por sus
valiosos aportes. Este trabajo fue realizado con el apoyo
parcial de los siguientes subsidios
20020160100042BA- UBACYT 2017-2020
20020150200143BA- UBACYT 2016-2017
20020170200232BA -UBACYT 2018-2019
PICT 2016 N° 2204
R
EFERENCIAS
[1] E. Hecht y A. Zajac, Óptica, Fondo Educativo Interamericano, S.A.,
1977
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components," Appl. Opt. 22, 354-360 (1983)
[3] M. C. Simon and R. M. Echarri, "Ray tracing formulas for monoaxial
optical components: vectorial formulation," Appl. Opt. 25, 1935-1939
(1986)
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extraordinary-wave propagation in uniaxial media," Appl. Opt. 36,
302-306 (1997)
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polarization interferometers,” Optik 87, 95-102 (1991)
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Space Weather Instrumentation IV. Vol. 8148. International Society
for Optics and Photonics, 2011.
Primera Interfaz
Segunda Interfaz
Plano Π
D=9.36 cm D=9.68 cm
z
z
z
z
z
6
6
6
6
6
6
0.10
0.06
z
-0.06
0.06
-0.08
y y
y y
6 6
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beams and fans of rays in uniaxial crystals." AIP Conference
Proceedings. Vol. 992. No. 1. AIP, 2008.
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