Estructura alternante para sistemas de
beamforming adaptativo basada en los
algoritmos APL/SR-LMS
Alternating Adaptive Beamforming System Based on the APL/SR-LMS Algorithms
Jesús Roberto del Ángel Ruíz
#1
, Xochitl Maya Rosales
#2
, Juan Gerardo Avalos Ochoa
#3
,
Carlos Alfonso Trejo Villanueva
#4
, Giovanny Sánchez Rivera
#5
#
Sección de Estudios de Posgrado e Investigación, Instituto Politécnico Nacional
Ciudad de México, México
1
jdelangelr1900@alumno.ipn.mx
2
xmayar1300@alumno.ipn.mx
3
javaloso@ipn.mx
4
carlostrejo@tese.edu.mx
5
gsanchezriv@ipn.mx
Abstract— Beam
forming is a wireless communication
technique used in telecommunications applications, which is
used to separate a desired signal from interfering signals. This
technique increases the coverage range and reduces the
interference problem, improving the performance of the
systems. To achieve this operation, adaptive algorithms are
required. In this work, an alternating structure for
beamforming systems is presented, which is composed of two
algorithms, the Sign Regressor Least Mean Square (SR-LMS)
and the Affine Projection Like (APL) algorithm. The results
show that the proposed structure has the best characteristics of
the combined algorithms, obtaining an algorithm with a high
convergence speed and lower computational cost compared to
other algorithms based on conventional convex combinations.
Keywords: Beamforming; adaptive filtering; adaptive
algorithms; convex combination.
Resumen— El Beamforming es una técnica de comunicación
inalámbrica utilizada en aplicaciones de telecomunicaciones, la
cual se usa para separar una señal deseada de señales
interferentes. Esta técnica aumenta el rango de cobertura y
reduce el problema de interferencia, mejorando el rendimiento
de los sistemas. Para lograr dicho funcionamiento se requiere de
algoritmos adaptativos. En este trabajo, se presenta una
estructura alternante para sistemas beamforming, la cual está
compuesta por dos algoritmos adaptativos, el Sign Regressor
Least Mean Square (SR-LMS) y el algoritmo Affine Projection
Like (APL). Los resultados demuestran que la estructura
propuesta tiene las mejores características de los algoritmos
combinados, obteniendo un algoritmo con una alta velocidad de
convergencia y menor costo computacional en comparación con
otros algoritmos basados en combinaciones convexas
convencionales.
Palabras clave: Beamforming; filtrado adaptativo; algoritmos
adaptativos; combinación convexa.
I. INTRODUCCIÓN
El beamforming es una técnica utilizada para mitigar los
problemas de interferencia y mejorar la transmisión de datos.
Esta técnica de procesamiento tiene como objetivo distinguir
propiedades espaciales de una señal deseada y separarla de
señales contaminantes, lo cual se realiza mediante la
modificación en amplitud y fase de las señales recibidas o
transmitidas, logrando así un patrón de radiación deseado [1].
Para realizar el ajuste de amplitud y fase se utiliza un
algoritmo adaptativo. La elección adecuada de dicho
algoritmo es importante, debido a que los algoritmos
adaptativos de alta complejidad computacional solamente
pueden ser implementados en hardware de grandes
prestaciones, lo cual incrementa los costos de su
implementación, por otra parte, al usar un algoritmo de baja
complejidad, es posible que no se pueda realizar
implementaciones debido a la baja velocidad de convergencia
del algoritmo. Debido a que existe una gran variedad de
algoritmos adaptativos, resulta difícil su correcta elección, ya
que hay algoritmos con baja complejidad computacional
como el algoritmo de mínimos cuadrados promediados (LMS
– Least Mean Square) [2], sin embargo, presenta una
velocidad de convergencia lenta. Por otro lado, exist
en
algoritmos de alta velocidad de convergencia como el
algoritmo de proyecciones afines (AP - Affine Projection) [3],
no obstante, presentan un nivel alto de error cuadrático medi
o
(MSE – Mean Square Error) y además su complejidad
computacional es muy elevada.
Recientemente, se ha desarrollado un método que tiene
como objetivo aprovechar las mejores características de dos
algoritmos diferentes, el cual es llamado combinación
convexa [4]. Esta técnica se ha utilizado en diversas
aplicaciones de filtrado adaptativo, por ejemplo, en [5] son
usados en sistemas de cancelación de eco acústico y en [6] se
presentó una combinación de los algoritmos AP y LMS
aplicada a sistemas de control activo de ruido. Por otra parte,
en [7] se utilizó por primera vez en sistemas de beamforming,
en donde se combina el algoritmo LMS y el algoritmo RLS
(Recursive Least Squares), mientras que en [8] se realizó la
combinación de los algoritmos AP y LMS. Sin embargo, esta
técnica presenta un costo computacional muy elevado, debido
a que los dos algoritmos que integran la combinación siempre
están trabajando. Además, se han presentado estructuras
R
ecibido: 21/02/22; Aceptado: 06/05/22
Creative Commons License - Attribution-NonCommercial-
NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.
0)
https://doi.org/10.37537/rev.elektron.6.1.140.2022
Original Article
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denominadas alternantes [9], las cuales reducen el cómputo
con respecto a las combinaciones convexas, sin embargo, solo
se han utilizado para aplicaciones de control activo de ruido.
Este trabajo presenta una estructura alternante adaptativa
aplicada a sistemas de beamforming. La estructura está
compuesta por los algoritmos APL y SR-LMS, con la
finalidad de explotar las mejores características de cada uno,
en el caso del algoritmo APL su alta velocidad de
convergencia y del algoritmo SR-LMS su nivel de MSE. Los
resultados demuestran que la estructura propuesta permite
alcanzar una alta velocidad de convergencia con un bajo costo
computacional.
II. C
ONFORMADOR DE HACES (BEAMFORMING)
Beamforming es una técnica de filtrado espacial, la cual
representa una solución a los problemas de interferencia de
señales por patrones omnidireccionales. Esta técnica tiene
como principal objetivo distinguir ciertas propiedades
espaciales de una señal en específico, que es reconocida como
la señal deseada y separarla del resto de las señales que son
conocidas como contaminantes o interferentes. El
beamforming sustituye los arreglos convencionales de
antenas utilizados para llevar a cabo la transmisión
inalámbrica, por arreglos de antenas inteligentes, que logran
generar automáticamente patrones de radiación nuevos, según
la necesidad del sistema.
Las antenas inteligentes también conocidas como antenas
adaptativas son hoy en día, una tecnología prometedora
debido a que crean sistemas de comunicación inalámbrica con
mayor capacidad y calidad de enlace a través de reutilización
de frecuencia y co-canal, combinando las señales de los
elementos para formar un patrón de haz movible que sigue a
la señal o usuario deseado, logrando que el patrón de radiación
se modifique durante el proceso, de forma tal que el lóbulo
con mayor potencia, se encuentre dirigido al usuario deseado,
en tanto existan nulas o bajas intensidades de recepción y
radiación. Este proceso de combinar señales y luego dirigirlas
en una dirección en específico es comúnmente conocido como
beamforming.
En la actualidad, se han desarrollado sistemas de
beamforming que son capaces de adaptarse de manera
automática. Su función principal es la de estimar haces o
lóbulos según sea la necesidad. A través de esta técnica el
lóbulo o haz principal del patrón de radiación envuelve a la
señal deseada, en tanto las otras señales de interferencia o no
deseadas son discriminadas, esto quiere decir que en la
dirección de ellas, no se observara ningún haz de radiación y
por ende no podrán ser captadas. La Fig. 1 muestra la
estructura general de un beamforming adaptativo.
Fig. 1. Diagrama general de la estructura de beamforming adaptativo.
Las técnicas digitales como el filtraje adaptativo para la
conformación de haces o lóbulos ofrecen diversos beneficios,
entre los que se encuentran la flexibilidad, confiabilidad y
repetitividad de la señal deseada. Además, al hacer uso del
beamforming digital se obtienen otras ventajas como:
• La dirección y la forma del lóbulo pueden ser
cambiadas rápidamente.
• Se logra la creación de varios lóbulos o haces a partir
de un solo arreglo inteligente de antenas, sin que se
vean afectadas las limitaciones de ortogonalidad de las
señales.
• Los errores de amplitud, así como los de fase, pueden
ser caracterizados en cada canal receptor, logrando un
control de amplitud y de fase muy exacto en las señales
y a su vez en la precisión y en la forma del patrón de
radiación.
El funcionamiento de los sistemas de beamforming
adaptativos depende en gran medida del algoritmo adaptativo
utilizado. En este trabajo se presenta un método que hace uso
del algoritmo Sign Regressor Least Mean Square (SR - LMS)
y el algoritmo affine projection like (APL).
El algoritmo SR-LMS, es una variante del algoritmo LMS que
presenta una complejidad computacional menor a cambio de
una velocidad de convergencia lenta. La ecuación del
algoritmo para la actualización de los coeficientes del filtro se
presenta en (1).
𝐰(n+1)'='𝐰(n)'+'µ'sign'['𝐱(n)]'e(n)
(1)
donde
𝐰(n+1)'
es el peso siguiente del filtro,
𝐰(n)'
representa el peso del coeficiente actual, µ es el factor de
convergencia,
𝐱(n)
es la señal de entrada al filtro y
e(n)
es la
señal de error, la cual se obtiene mediante (2):
e(n)'='d(n)'–'y(n)
(2)
Siendo
d(n)
la señal deseada y
y(n)
la salida del filtro, la
cual está dada por (3):
y
(
n
)
='𝐱
!
(
n
)
'𝐰(n)
(3)
Por otra parte, la función de signo se calcula mediante (4):
Sign'𝐱(n)'=
5
''''1, 𝐱(n)'>'0'
'''0, 𝐱(n)'='0
−1, 𝐱(n)'<'0
''
(4)
El algoritmo APL es una modificación que presenta una
complejidad computacional menor que su versión original,
debido a que no requiere la operación de inversión de matriz.
La ecuación de actualización de coeficientes del algoritmo
APL está dada por (5):
𝐰
(
n+1
)
=𝐰
(
n
)
+
µ
𝐗(n)𝐞(n)
(5)
donde
𝐰(n)
es el peso de los coeficientes del filtro,
𝐞(n)
la
señal de error,
𝐗(n)
la matriz de la señal de entrada y el factor
de convergencia
'
se obtiene mediante (6):
µ=
"
#
$
%
&
'
$
%
&"
!
(
#
"
$%&#$%&'$%&
(
!
(6)
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III. MÉTODO PROPUESTO
En el presente trabajo de investigación se propone el uso
de un algoritmo alternante que combina los algoritmos APL y
SR-LMS, con la finalidad de mantener una velocidad de
convergencia alta similar al del algoritmo APL y un costo
computacional bajo y mejor nivel de MSE similar al del
algoritmo SR-LMS. En la Fig. 2 se muestra el diagrama
general de la estructura alternante propuesta para un sistema
beamforming.
Fig. 2. Diagrama general de la estructura alternante propuesta para un
sistema de beamforming adaptativo.
Como se puede observar en la Fig. 1, la principal ventaja
de la estructura propuesta se presenta en el mecanismo de
selección de los algoritmos, el cual se encarga de actualizar
solamente uno de los algoritmos en cada iteración. La
estructura alternante propuesta clasifica la adaptación en dos
modos:
1) Un modo de seguimiento, el cual es el periodo en el
que el algoritmo adaptativo logra converger
rápidamente
2) Un modo de estado estacionario, donde se alcanza un
MSE estable.
Para determinar los modos se compara el error de salida
con el MSE teórico en estado estacionario del algoritmo APL
mediante
δ=
)*
)*+ ,
'σ
-
)
(7)
Donde
δ
denota el umbral que representa el valor teórico
del MSE para el algoritmo APL,
𝐿
el número de reúsos
utilizados en el algoritmo antes mencionado y
σ
-
)
es la
varianza de la señal de ruido.
La señal de salida y(n) del algoritmo propuesto se calcula
mediante (8), la cual es una combinación de las salidas de cada
uno de los algoritmos que componen esta estructura.
𝑦
(
n
)
='λ
(
n
)
y
,
(n)'+'
[
'1'–'λ
(
n
)]
y
)
(n)
(8)
Donde
λ(n)
es actualizada mediante (9):
𝜆
(
𝑛
)
=
,
,./0
#$%&'
(9)
Siendo
𝑎
(
n
)
un parámetro auxiliar utilizado para minimizar
el error cuadrado instantáneo de los filtros y se calcula de la
forma
𝑎
(
n
)
= 𝑎
(
n − 1
)
+ µ
!
e
(
n
)[
e
"
(
n
)
− e
#
(
n
)]
λ
(
n
)[
1 −
λ
(
n
)]
+ ρ
[
𝑎
(
n
)
− 𝑎
(
n − 1
)]
donde
ρ
se define como una
constante positiva y
µ
1
representa el factor de convergencia
para
𝑎
(
n
)
.
Para asegurar un buen rendimiento de la combinación se
transfiere una parte de
𝐰
,
a
𝐰
)
. Esta transferencia de pesos
solo se aplica cuando el algoritmo rápido tiene mejor nivel de
MSE que el algoritmo lento. Por lo tanto, la regla de
adaptación es modificada para
𝐰
)
y se obtiene como (10):
𝐰
)
(
n
)
=α'𝐰
)
(
n
)
+
(
1–α
)
𝐰
,
(
n–1
)
(10)
Para
λ
(
n
)
>𝑡
, donde
α
y
𝑡
son parámetros cercanos a 1.
Finalmente, la regla que establece el funcionamiento de los
algoritmos APL y SR-LMS se presenta en (11) y (12),
respectivamente:
!
(
"
#$%
&
'
(
!
(
"
#
&
$
µ
(
"
#
&
)
"
#
&
*
)
"
#
&
+ ,-./
*
"#&.
³
.0
!
(
"
#
&
+ /#.12,3.13#4525-3
(11)
!
*
"
#$%
&
'
(
!
*
"
#
&
+ ,-./
*
"#&.
³
.0
!
*
"
#
&
$
µ
*
/
*
"
#
&
,-6#
7
8
"
#
&9
+ /#.12,3.13#4525-3
(12)
Por lo tanto, la señal de error e(n) se calcula de la forma
(13):
e(n)'='λ(n)'e
,
(n)'+'(1'−'λ(n))'e
)
(n)
(13)
En la Tabla I se resume el procedimiento del algoritmo
alternante propuesto.
TABLA I
A
LGORITMO ALTERNANTE APL/SR-LMS
Entrada
!
!
" !
"
" #
Inicialización
$
#
% $
!
% &' (!
#
% &' () % &' (* % &'(
for n
+
#
,
-
.
% /
$
$
#
,
-
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0
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1
.
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1
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4
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,
-
.
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,
-
.
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C# 3 8
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-
.
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-
.
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.
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- 9 8
.
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.
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,
-
.
GHI-=5,-.?
endif
$
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,
-
.
% J($
!
,
-
.
9
,
8> J
.
$
#
,
-> 8
.
endfor
IV. RESULTADOS
Con la finalidad de mostrar el funcionamiento de la
estructura propuesta, se simuló un sistema beamforming en el
software MATLAB
TM
, en donde se llevó a cabo una
comparación entre los algoritmos APL, SR-LMS, un
algoritmo convexo y el algoritmo alternante propuesto. Las
señales recibidas por el arreglo de antenas fueron sumas de
cosenos de la forma:
𝑖
(
n
)
=𝑠
(
n
)
+'𝑣(𝑛)
(14)
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Donde el primer término
𝑑
(
𝑛
)
=A(n) cos
(
𝑛𝓌
0
+ ∅
𝑎
)
representa la señal deseada y el término
𝑣
(
𝑛
)
=
𝐵(𝑛) cos
(
𝑛𝓌
0
+ ∅
𝑏
− ∅
0
)
.
representa una señal de
interferencia que arriba con un ángulo
𝜃
'
relativo a la señal
s(n). Cabe mencionar, que A y B son la amplitud, n el número
de muestras,
𝓌
2
la frecuencia angular,
∅
!
y
∅
(
la fase de las
señales y
∅
'
un cambio de fase usado para mostrar la diferencia
que existe en el tiempo de llegada entre las señales, la cual se
obtiene mediante:
∅
2
='π'sen'𝜃
2
(15)
Como se puede observar,
∅
'
depende del ángulo de llegada
de la señal de interferencia.
En los experimentos realizados, se utilizó valores
aleatorios para la fase
∅
1
y
∅
3
, la señal de interferencia tuvo
un ángulo de
𝜃
'
= 45º mientras que la señal deseada
𝜃
= 0.
Además, como ruido aditivo se agregó un ruido blanco
Gaussiano con relación señal a ruido de 30 dB. Los resultados
se obtuvieron al obtener la media de un total de 500
experimentos para cada una de las simulaciones de seis y ocho
antenas.
Para el algoritmo alternante APL del algoritmo convexo
se estableció el número de reúsos en 8 y el factor de
convergencia para el algoritmo SR-LMS fue de 0.015. Dichos
valores fueron elegidos debido a que en la experimentación
los algoritmos presentaron su mejor rendimiento.
En las Fig. 3 y 4 se muestran las gráficas de los patrones
de radiación obtenidos en las simulaciones. Los resultados
demuestran que los algoritmos simulados funcionan de
manera correcta al presentar un patrón que solamente recibe
la señal deseada y discrimina todas las señales que están fuera
del rango.
Fig. 3. Patrón de radiación del sistema de beamforming con seis antenas.
Fig. 4. Patrón de radiación del sistema de beamforming con ocho antenas.
Los resultados de las gráficas de los patrones de radiación
obtenidos en las simulaciones de las Fig. 3 y 4, demuestran
que todos los algoritmos simulados trabajan de la forma
esperada al presentar un patrón que solamente recibe la señal
deseada con una fase de 180° y discrimina al resto de las
señales que están fuera de esta, que son las señales
contaminantes establecidas en ángulos de fase de 90°.
En las Fig. 5 y 6 se presenta el nivel de error cuadrático
medio (MSE) obtenido para las simulaciones con seis y ocho
antenas, donde se aprecia que el algoritmo alternante presenta
una velocidad similar a la del algoritmo APL y a la del
algoritmo convexo, sin embargo, su nivel de MSE es
ligeramente mayor que estos.
Fig. 5. Nivel de MSE del sistema de beamforming con seis antenas.
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Fig. 6. Nivel de MSE del sistema de beamforming con ocho antenas.
V. DISCUSIÓN
Los resultados obtenidos en las simulaciones demuestran
que el algoritmo propuesto alcanza una velocidad de
convergencia y nivel de MSE similar a la versión convexa.
Sin embargo, la principal ventaja que tiene el método
propuesto se centra en el costo computacional.
En principio, en la Tabla II se hace una comparación con
el número de actualizaciones de coeficientes del filtro
adaptativo realizadas por el algoritmo convexo y el propuesto
por esta investigación. En este caso, se menciona que el
algoritmo convexo realiza en todo momento actualizaciones
de coeficientes y por tanto su costo computacional es fijo.
Respecto a los dos algoritmos utilizados en la propuesta, tanto
el algoritmo APL, así como el SR-LMS, están siempre
trabajando y actualizando sus pesos, sin embargo, el algoritmo
alternante solo actualiza los coeficientes de uno de los dos
algoritmos que lo componen, logrando una significativa
reducción del costo computacional.
TABLA III
TABLA COMPARATIVA DE OPERACIONES DE ACTUALIZACIÓN DE
COEFICIENTES ENTRE EL FILTRO CONVEXO Y EL ALTERNANTE CON
6 Y 8
ANTENAS
.
Número de
antenas
Algoritmo
Porcentaje de
actualizaciones
6
CONVEXO
100%
6
ALTERNANTE/APL
ALTERNANTE/SR-LMS
45.8%
54.2%
8
CONVEXO
100%
8
ALTERNANTE/APL
ALTERNANTE/SR-LMS
47.1%
52.9%
En la Tabla III se muestra el número de multiplicaciones
requeridas por los algoritmos para un caso típico, donde N
representa la longitud del filtro adaptativo y L es el orden de
proyección. Cabe mencionar que la estructura propuesta no
requiere el funcionamiento de los dos algoritmos durante todo
el proceso de filtrado, por lo que el costo computacional se
reduce cuando el algoritmo SR-LMS es ejecutado en vez del
APL. El algoritmo propuesto comienza haciendo operaciones
con el algoritmo APL que tiene una mayor velocidad de
convergencia y cuando alcanza el estado estacionario cambia
sus operaciones a las del algoritmo SR-LMS con lo que se
reduce el costo computacional y como ya se encuentra en
estado estacionario ya no se requiere de una alta velocidad de
convergencia.
TABLA IIIII
TABLA COMPARATIVA DE OPERACIONES (MULTIPLICACIONES). CASO
TÍPICO
: N = 8 Y L = 8.
Algoritmo
Multiplicaciones
Caso
Típico
APL
3NL + 2N + L
216
SR-LMS
2N + 1
17
ALTERNANTE
APL/SR-LMS
3NL + 3N + L + 1
225
3N + 2
26
COMBINACIÓN CONVEXA
APL/SR-LMS
3NL + 5N + L + 2
242
Por otra parte, la estructura alternante propuesta
presenta un nivel de MSE similar al del algoritmo SR-LMS, y
una velocidad de convergencia cercana al algoritmo APL, de
forma que se explota las mejores características de ambos
algoritmos, manteniendo un costo computacional más bajo
que las combinaciones convexas. Cabe mencionar, que estas
características proveen al sistema de una alta velocidad de
adaptación y una mejor reducción del nivel de error, de forma
que se logra rechazar o atenuar en mayor grado las señales o
interferencias que llegan de direcciones diferentes a la señal
deseada. Esto es de vital importancia, ya que la principal
característica de los sistemas de beamforming reside en la
capacidad de concentrar el patrón de radiación en las
direcciones deseadas y controlar el nivel de radiaciones no
deseadas, como los lóbulos laterales, los cuales normalmente
recogen las señales de interferencia no deseadas.
VI. C
ONCLUSIONES
En este trabajo se presenta un sistema de beamforming
basado en un algoritmo adaptativo alternante que combina el
algoritmo Sign Regressor Least Mean Square (SR-LMS) y el
algoritmo Affine Projection Like (APL). Las características
del algoritmo alternante propuesto lo convierten en una gran
opción para el desarrollo de sistemas prácticos de
beamforming al presentar un rendimiento comparable con el
de sistemas similares propuestos previamente, mejorando el
costo computacional. Los resultados de las simulaciones
demuestran que el algoritmo propuesto presenta una alta
velocidad de convergencia, similar a la del algoritmo APL, y
un nivel de MSE igual al presentado por el algoritmo SR-
LMS. Además, se tiene como principal ventaja un menor
costo computacional comparado con el algoritmo APL y los
algoritmos convexos, en los cuales los filtros que lo componen
trabajan simultáneamente durante todo el proceso, lo que
conlleva a un mayor costo computacional. Parte del trabajo a
futuro, será la implementación de este algoritmo en
dispositivos FPGA (del inglés: Field Progammable Gate
Array) para validar su consumo de área/potencia.
AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen al Consejo Nacional de Ciencia y
Tecnología (CONACYT) y al Instituto Politécnico Nacional
(IPN) por el apoyo financiero para la realización de este
trabajo.
R
EFERENCIAS
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http://elektron.fi.uba.ar
