Procedimiento para el Modelado de un Convertidor
Boost para UPS mediante Variables de Estado
Procedure for Modeling a Boost Converter for UPS Using State Variables
Federico Gabriel D’Angiolo
#1
, Julio Guillermo Zola
#2
#
Laboratorio de Circuitos Electrónicos, Dto. de Electrónica, Facultad de Ingeniería, Universidad de Buenos
Paseo Colón 850 (1063), CABA, Argentina
1
fdangiolo@fi.uba.ar
2
jzola@fi.uba.ar
Abstract— This work describes a procedure to model a
Boost converter using State Variables. An example will be
taken to describe the procedure, a converter used within a UPS
that must deliver a constant voltage of 400V to power a bus.
The input voltage of this converter is given by a set of batteries
that can be fully or partially charged, so the input voltage can
vary between two possible extreme values. An analysis of the
Boost converter circuit will be carried out as an introduction to
later carry out the corresponding modeling. This modeling will
allow to analyze its stability, the variations in the output
voltage in the face of changes in the input, as well as the
different disturbances that may occur.
Keywords: modelling, switching converter, state variables.
Resumen—En el presente trabajo se describe un
procedimiento para el modelado de un convertidor Boost
utilizando variables de estado. Se tomará como ejemplo para
describir el procedimiento, un convertidor utilizado en el
interior de una UPS que debe entregar una tensión constante
de 400V para alimentar a un bus. La tensión de entrada de este
convertidor viene dada por un conjunto de baterías las que
pueden estar totalmente o parcialmente cargadas, razón por la
cual la tensión de entrada puede variar entre dos posibles
valores extremos. Se realizará como introducción un análisis
del circuito convertidor Boost para luego realizar la
modelización correspondiente. Esta modelización permitirá
poder analizar su estabilidad, las variaciones de la tensión de
salida frente a cambios en la entrada, así como las distintas
perturbaciones que pudieran ocurrir.
Palabras claves: modelización, convertidor, variables de
estado.
I. INTRODUCCION
En la actualidad muchos equipos electrónicos utilizan
fuentes conmutadas para alimentar sus circuitos, sin
embargo, dado que cada uno de estos equipos tienen
distintos requerimientos, resulta útil analizar las distintas
topologías de convertidores existentes para ver cuál es la
adecuada. En particular, los sistemas de suministro de
energía ininterrumpida (UPS) son capaces de alimentar
cargas que necesitan una constante alimentación, es decir,
una alimentación que no se vea perturbada por ningún
motivo. Algunos ejemplos de este tipo de carga pueden ser
equipos médicos, datacenters, equipos de procesamiento
industrial y equipos de gestión en línea los cuales, por
ejemplo, ante un corte de la alimentación general de 220V,
deben seguir funcionando.
Por esta razón, las UPS generalmente se encuentran
equipadas con un conjunto de baterías que son las
encargadas de continuar con el suministro de energía ante
un corte en la alimentación general.
En el interior de una UPS se encuentra un circuito que
toma la tensión generada por estas baterías y la eleva a otra
de 400V para alimentar la electrónica interna que será capaz
de seguir con el proceso de suministro de energía a la carga.
Este circuito elevador, resulta ser una convertidor Boost.
En particular, este tipo de convertidor permite elevar la
tensión a su salida con respecto a la de su entrada - Fig.1-.
Esta elevación de tensión implica una disminución de la
corriente de salida con respecto a la de entrada, ya que la
potencia puesta en juego debe mantenerse idealmente
constante [1].
Fig. 1. Convertidor Boost.
Los componentes que almacenan energía (inductor y
capacitor), serán los encargados junto con los dispositivos
semiconductores, de elevar la tensión de entrada a 400V.
El transistor M
1
y el diodo D
1
actúan como dispositivos
conmutadores en momentos distintos, es decir, mientras uno
Recibido: 05/02/21; Aceptado: 22/04/21
Creative Commons License - Attribution-NonCommercial-
NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0)
https://doi.org/10.37537/rev.elektron.5.1.122.2021
Original Article
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de ellos se encuentra en modo de corte (OFF), el otro se
encuentra en modo de conducción (ON), es decir, con una
caída de tensión de 0V. Por esta razón, para comprender el
funcionamiento del circuito de manera sencilla, se
reemplazará a cada uno por una llave ideal. Dado que cada
uno de estos dispositivos conmutan en momentos distintos,
se necesita de una fuente o generador que los pueda
sincronizar. En este caso, quien realiza esta acción es el
bloque G, el cual genera una señal modulada por ancho de
pulso (pulse width modulation, PWM). La frecuencia y
ancho del pulso dependen de las especificaciones y de su
posterior cálculo. Como se puede ver en la Fig.1, en el caso
del diodo, el mismo actuará en directa (conducción) o en
inversa (corte), de acuerdo a la diferencia de potencial que
exista entre sus terminales en cada momento.
La tensión de entrada V
IN
, (se la denominará Vi en las
fórmulas para simplificar los subíndices) será elevada por
medio del convertidor a la tensión de salida V
O
, la cual para
nuestro ejemplo de análisis es de 400V.
Para el presente caso, V
IN
será suministrada por un
conjunto baterías y tendrá un rango comprendido entre
100V y 219V, según sea el estado de carga de dichas
baterías, es decir, si están totalmente cargadas la tensión de
entrada será de 219 V mientras que si se encuentran con
carga mínima, la tensión de entrada será de 100V. Por otra
parte, dado que la potencia requerida es de 5KW, la
corriente de salida será de 12,5A.
Admitiremos para nuestro modelo que el convertidor
bajo análisis trabaja en Modo Continuo, con lo cual la
relación entre la tensión de entrada y la de salida, viene
dada por:
V
0
=
V
i
1 − D
(1)
Siendo:
D = Ciclo de trabajo.
V
i
= Tensión de entrada del convertidor.
V
O
= Tensión de salida del convertidor.
II. MODO DE FUNCIONAMIENTO
El Convertidor tiene dos modos de funcionamiento:
Modo Continuo (CM) y Modo Discontinuo (DM). El primer
modo presenta la ventaja de que la tensión de salida no
depende de la carga mientras que, en el DM la tensión de
salida sí depende de la carga. A su vez, en el
funcionamiento del DM, la corriente que atraviesa el
inductor se vuelve nula antes de que comience el próximo
ciclo de conmutación, lo cual es un beneficio desde el punto
de vista de la disipación pero, cuando se implementa el
circuito, resulta muy importante que no existan capacidades
parásitas importantes dado que de ser así se puede generar
una oscilación amortiguada al producirse la conmutación
(“ringing”) el cual es perjudicial para las Interferencias
Electromagnéticas (EMI). La descripción que sigue a
continuación, estará basada en el primer modo.
El funcionamiento del circuito de la Fig.1, se puede
comenzar describiendo para el momento en el que el
transistor M
1
se encuentra en conducción (debido a que el
generador G elevó suficientemente la tensión del terminal
de Gate) y el diodo D
1
se encuentra en inversa. A este
momento lo podemos denominar t
ON
. En base a esto, se
observa que circula corriente por el inductor, la cual es
provista por la fuente de entrada, V
IN
. Dado que la relación
entre corriente y tensión en un inductor viene dada por la
expresión:
v
L
(
t
)
=L.
di
L
(
t
)
dt
(2)
De la ecuación anterior se puede ver que, para obtener la
evolución de la corriente, se puede integrar, teniendo en
cuenta el valor de la corriente inicial. Luego, dado que en
este caso, V
L
= V
IN
, se puede obtener:
i
L
(
t
)
=
1
L
.
∫
V
I .
dt +i
L
(
0
)
(3)
Dado que V
i
es constante, se llega entonces a que:
i
L
(
t
)
=
1
L
.V
I
.t+i
L
(
0
)
(4)
De la expresión anterior, se puede ver que la corriente en
el inductor aumenta linealmente con el tiempo hasta que M
1
deje de estar en conducción debido a que el generador G
cambia de valor, es decir, el transistor pasa a estado de
corte. Se puede decir que en este proceso, el inductor
almacena la energía en forma de campo magnético.
Luego, el siguiente estado del circuito se da cuando M
1
entra en corte y el diodo D
1
comienza a conducir (se polariza
en directa). En este intervalo de tiempo, el inductor descarga
la energía almacenada sobre el capacitor y la carga.
Despreciando la caída de tensión en el diodo D
1
la corriente
en el inductor queda de la siguiente forma:
i
L
(
t
)
=
1
L
.
(
V
I
−V
O
)
.t+i
L
(
0
)
(5)
Observando la expresión anterior, se puede ver que la
corriente en el inductor decae linealmente dado que V
o
es
mayor que
V
IN
,
tal como se observa del principio de
funcionamiento de este tipo de convertidores -ver ecuación
(1) -
III. MODELIZACIÓN
A. Análisis del Circuito Convertidor
El convertidor analizado se lo puede estudiar como un
sistema en lazo abierto, siendo la señal de entrada la tensión
V
i
(o V
IN
) y su salida la tensión V
o
. En este caso, no hay que
olvidar que el valor de D, se mantiene constante para que la
tensión de salida no se vea modificada (ante un único valor
de Vi). Es decir, V
i
no es la única señal de entrada al
convertidor sino que también se encuentra otra que viene
dada por la señal proveniente del modulador por ancho de
pulso (G) -Fig. 1-. Por esta razón el lazo abierto será
modelado con una señal de entrada que será d y una señal
de salida que será V
o
. -Fig. 2-.
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Fig. 2. Convertidor Boost.
Siendo:
d(s): Señal de entrada proveniente del PWM, en el dominio
de Laplace.
V
o
(s): Tensión de salida del convertidor, en el dominio de
Laplace.
Es importante aclarar que, al cerrar el lazo, se elimina este
generador de señal G ya que precisamente este lazo tiene
como objetivo muestrear tensión a la salida e inyectar al
gate del transistor una señal del tipo PWM para que,
modulando el ciclo de trabajo, se pueda mantener a V
O
con
la menor variación posible.
Una vez modelizado el convertidor, se podrá cerrar el lazo
para poder estabilizar V
O
frente a perturbaciones que puedan
existir. Para esto, se opta por usar un lazo de muestreo y
suma de tensión [2] - Fig. 3 -.
Fig. 3. Modelización del Convertidor en lazo cerrado.
Los bloques con Función de Transferencia son:
C(s): Función transferencia del controlador (puede ser del
tipo Proporcional)
G
PWM
(s): Función Transferencia del modulador PWM
G(s): Función Transferencia del convertidor
H(s): Función Transferencia del realimentador
Las señales descritas son:
E(s): Señal de error, surge como la diferencia entre la
tensión de referencia y la que proviene del realimentador.
U(s): Señal proveniente del controlador.
d(s): Señal proveniente del modulador PWM.
Se procederá a modelizar cada una de estas Funciones,
empezando por G(s), ya que es la que se desea analizar
tanto en lazo abierto como en lazo cerrado. Luego, se
procederá a modelizar los bloques restantes [3].
B. Modelización del Convertidor en Lazo Abierto
Se utilizará la técnica de “Modelo con Variable Promedio”
[9]. Es decir, dado que el funcionamiento del Convertidor
no es lineal se acude a un método que pueda promediar los
dos estados bajo los que funciona el convertidor. Para lograr
el modelo deseado, se hace una breve descripción de los
modos de funcionamiento de dicho convertidor a lo largo de
un período de la señal y se toman sus circuitos equivalentes.
Se tomará como circuito bajo estudio, el de la Fig. 4:
Fig. 4. Convertidor Boost con modelos ideales de capacitores e inductores.
Es conveniente aclarar que la modelización se puede
realizar tanto con los modelos ideales o reales de sus
componentes (por ejemplo teniendo en cuenta la resistencia,
capacidad e inductancia parásita de los componentes
reactivos). Para el caso del presente trabajo, se prefiere
considerar los modelos ideales para comprender la
metodología en el análisis. Sin embargo, se pueden usar
modelos más complejos de manera que el estudio se
asemeje lo más posible al comportamiento real del
convertidor [4-8]. Cabe aclarar que el alcance de este
trabajo es realizar un análisis básico que permita
comprender el uso de las variables de estado para modelizar
un convertidor Boost y no tiene en cuenta otros aspectos del
circuito que complejizarían el modelo, tales como los
componentes parásitos del arreglo circuital. El análisis de la
influencia de estos componentes, que ampliaría las
ecuaciones y por lo tanto el modelo a construir, resultará ser
la base de un futuro trabajo donde además pueda hacerse el
estudio de estabilidad de dicho convertidor.
Para este análisis, se admiten ideales a los elementos de
conmutación. Es decir, el transistor de conmutación M
1
se lo
sustituye por una llave ideal S
1
. Asimismo, el diodo D
1
actúa como ideal.
El intervalo t
ON
durante el cual, el inductor almacena
energía, se lo denominará MODO ON. Luego, el intervalo
t
OFF
, cuando el inductor libera la energía almacenada, será el
MODO OFF. En cada uno de estos modos el convertidor
tendrá su equivalente circuital y por ende una
representación matemática, descripta a través de variables
de estados.
Se parte de las ecuaciones de estado del circuito, en
cualquiera de sus modos, considerando un vector de estado
compuesto por las variables corriente en la inductancia (i
L
) y
tensión en el capacitor de salida (v
c
= v
o
), (6).
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x=
(
i
L
v
o
)
T
(6)
Se toman estas variables dado que en el circuito de la
Fig. 1, se encuentran dos elementos que almacenan energía:
el capacitor, que almacena energía en forma de campo
eléctrico y el inductor que almacena energía en forma de
campo magnético.
En base a esto, a continuación se analizan los modelos
matemáticos para cada intervalo, según la modelización
descripta en [9].
Primer modo: Modo ON
Este análisis comienza teniendo en cuenta que la llave S
1
(transistor) se encuentra cerrada y el diodo D
1
, en inversa.
El circuito equivalente es el que se muestra en la Fig. 5
Fig. 5. Circuito equivalente del convertidor en Modo ON.
Planteando las ecuaciones de Kirchoff de tensiones y
corrientes en las mallas que contienen a L y a C (KVL y
KVC, respectivamente) sobre el circuito de la Fig. 5 y
utilizando como variables de estado a la corriente en el
inductor (i
L
) y a la tensión en el capacitor (v
C
), se tiene que:
˙
x= A
1
. x +B
1
. v
i
(7)
[
d
iL
dt
d
vc
dt
]
=
[
0 0
0
− 1
C .R
]
.
[
i
L
v
c
]
+
[
1
L
0
]
. v
i
(8)
v
o
=C
1
. x
(9)
v
o
=
[
0 1
]
.
[
i
L
v
c
]
(10)
Segundo modo: Modo OFF
El análisis en este modo, se inicia con la llave S
1
(transistor) abierta y el diodo D
1
, en directa. De esta forma,
el circuito equivalente es el indicado en la Fig. 6
Fig. 6. Circuito equivalente del Convertidor en Modo OFF.
Planteando KVL y KVC, se tiene que:
˙
x= A
2
. x + B
2
. v
i
(11)
[
d
iL
dt
d
vc
dt
]
=
[
0
−1
L
1
C
−1
C . R
]
.
[
i
L
v
c
]
+
[
1
L
0
]
. v
i
(12)
v
o
=C
2
. x
(13)
v
o
=
[
0 1
]
.
[
i
L
v
c
]
(14)
Teniendo formadas las matrices para el convertidor en cada
uno de sus estados, se procede a promediarlas y
linealizarlas, quedando:
[
~
d
iL
dt
~
d
vc
dt
]
=
[
0 −
(
1− D
)
L
(
1− D
)
C
−
1
C . R
]
.
[
~
i
L
~
v
c
]
+
[
1
L
V
i
L .
(
1−D
)
0 −
V
i
R . C .
(
1−D
)
²
]
.
[
~
v i
~
d
]
(15)
v
o
=
[
0 1
]
.
[
i
L
v
c
]
(16)
Con esta modelización matemática, el diagrama en bloques
de la fuente queda entonces como se muestra en la Fig. 7.
Fig. 7. Diagrama en bloques de la fuente conmutada. Vc es la tensión
sobre el capacitor, que coincide con la tensión de salida.
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C. Modelización del Convertidor en Lazo cerrado
Retomando la Fig. 3, se puede observar que en lazo
cerrado, se encuentran tres bloques más, G
PWM
(s), H(s) y
C(s). Se analizará primeramente G
PWM
(s).
D. Modelización del modulador PWM
El bloque modulador de PWM, tiene como objetivo
generar una señal cuadrada pero con un ciclo de trabajo
variable. Para lograr esto último, el modulador toma la
señal proveniente del controlador C(s) y la compara
contra una señal diente de sierra de amplitud y
frecuencia fija. En base a esto, la modelización de este
bloque se puede obtener como: [9]
G
PWM
=
1
V
M
(17)
Siendo:
G
PWM
(s) = Función Transferencia del bloque modulador.
V
M
= tensión pico de la señal diente de sierra.
La tensión V
M
se puede tomar de circuitos integrados de
fuentes conmutadas comerciales. Como se puede ver,
G
PWM
(s) no depende de la frecuencia.
E. Modelización del bloque realimentador
El bloque realimentador muestrea a V
o
y suma tensión
a la entrada del sistema realimentado, ya que se debe
comparar con la tensión de referencia V
REF
. En base a esto,
el bloque H(s) se puede escribir como:
H
(
s
)
=
V
f
V
o
(18)
Siendo:
H(s) = Función Transferencia del bloque realimentador.
V
f
= tensión de salida de H(s).
V
o
= tensión de salida del convertidor.
En este caso, el cálculo de H(s) será realizado para régimen
permanente. Es decir, V
o
= 400V y V
f
cercana a la tensión
de referencia. Esta última se la puede tomar de los circuitos
integrados utilizados en fuentes conmutadas comerciales.
Con esto se tiene que:
V
o
= 400V ; V
REF
= 2,5V
El valor de V
REF
se tomó del circuito integrado TL494,
aunque muchos dispositivos toman una tensión similar.
F. Modelización del bloque Controlador
Este bloque tiene como función, generar una señal apta
para que el Convertidor pueda mantener la tensión de salida
en 400V. Para lograr esto, toma la señal de error
proveniente de la diferencia entre la señal de referencia
(V
REF
) y la que entrega el bloque realimentador H(s) (Ver
Fig.3). Es decir que la transferencia de este bloque será:
C
(
s
)
=
U
(
s
)
E
(
s
)
(19)
Siendo:
C(s) = Función Transferencia del Controlador.
E(s) = Señal de Error, en el dominio de Laplace.
U(s) = Señal de Control en el dominio de Laplace.
El Controlador a utilizar es uno del tipo Proporcional,
dada las prestaciones que ofrece para Convertidores. Dicho
controlador se puede representar matemáticamente de la
siguiente forma:
C
(
s
)
= K
p
(20)
Siendo K
P
la Constante Proporcional.
Dado que el objeto de estudio de este artículo no resulta
ser la sintonización del Controlador, se opta por utilizar el
método Ziegler - Nichols. Esto es, para obtener mejores
prestaciones, resulta conveniente realizar el estudio de dicha
sintonización y la posible utilización de una parte
integradora y otra derivativa, dentro del mismo Controlador.
IV. RESULTADOS
Se procede a mostrar en la Fig. 8 el esquema final:
Fig. 8. Diagrama en bloques del modelo Final.
A los efectos demostrativos del diagrama de la Fig.8, se
propone una simulación hecha en Scilab con algunos
valores para el Convertidor, de manera de poder simular la
relación entre entrada y salida del circuito.
Valores propuestos: L = 760 mH ; C = 47 mF ;
R = 32W
V/V
P
La imagen que se muestra a continuación, resulta ser la
salida del convertidor ante una excitación del tipo escalón
en V
REF
de 2,5V.
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Fig. 9. Tensión de salida vs tiempo.
En la Fig. 9 se puede ver que con el valor de K
P
elegido, la
tensión de salida se mantiene aproximadamente en 398,6V
(en estado estable), pero en contraposición se tiene un
transitorio con oscilaciones cuyas amplitudes alcanzan los
700V, lo cual no resulta beneficioso para el circuito donde
se va a utilizar este convertidor. De acuerdo a las exigencias
del circuito, se puede agregar una parte Integral al
controlador para disminuir el error en estado estable y llegar
a los 400V, teniendo en cuenta los efectos que puede
agregar la parte integral [10]. Por otro lado, para disminuir
el sobrepico, se puede agregar un lazo de corriente interno
al sistema [11].
V. CONCLUSIONES
El estudio presentado no pierde de vista los bloques que
componen el lazo cerrado sobre el cual se encuentra la
fuente lo cual permite obtener un modelo completo del
comportamiento de la fuente en lazo cerrado para evaluar en
futuros estudios, como por ejemplo, el comportamiento
dinámico y los posibles controladores que lo puedan
integrar.
Teniendo en cuenta la respuesta en la tensión de salida
luego de ajustar el Controlador Proporcional, se observa la
necesidad de agregar otro controlador para el sensado de la
corriente en el inductor. Al tener modelizadada a esta
variable, se puede proponer como trabajo a futuro la
sintonización de un controlador para lograr un menor
sobrepico en la tensión de salida.
AGRADECIMIENTOS
Este trabajo fue llevado a cabo desde el Laboratorio de
Circuitos Electrónicos de la Facultad de Ingeniería de la
Universidad de Buenos Aires en conjunto con la Empresa
Crexel S.R.L.
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Converters, Applications, and Design,” John Wiley & Sons, 2003.
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Technology. Penghu, Taiwan, R.O.C.
[4] V. Sood, H.Abdel-Gawad, “Small-Signal Analysis of Boost
Converter, including Parasitics, operating in CCM”
[5] X. Cheng, G. Xie, “Full Order Models and Simulation of Boost
Converters Operating in DCM”. International Conference on
Electronic Computer Technology. 2009
[6] D.Ng, W. Wong, K.Wan and D.Kwong “An Efficient Transfer-
Function-Based Approach for the Fast Tunning and Design of DC-
DC Converters”.2nd IEEE Conference on Industrial Electronics and
Applications. 2007
[7] L.Guo, “Implementation of Digital PID Controllers for DC-DC
Converters using Digital Signal Processors” IIEEE EIT 2007
Proceedings
[8] V. Sood, H.Abdel-Gawad, “Small-Signal Analysis of Boost
Converter, including Parasitics, operating in CCM
[9] J.C. Floriani, Fuentes Conmutadas. Análisis y Diseño, 2010: ISBN:
987-9406-45-1.
[10] Texas Instruments, “Practical Feedback Loop Analysis for Voltage-
Mode Boost Converter”. Application Report SLVA633– January
2014.
[11] A. Bersani, “Switch Mode Power Supply (SMPS) Topologies (Part
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Revista elektron, Vol. 5, No. 1, pp. 1-6 (2021)
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